第二題
描述 description
新一年度的貓狗大戰通過sc(星際爭霸)這款經典的遊戲來較量，野貓和飛狗這對冤家為此已經準備好久了，為了使戰爭更有難度和戲劇性，雙方約定只能選擇terran(人族)並且只能造機槍兵。
比賽開始了，很快，野貓已經攢足幾隊機槍兵，試探性的發動進攻；然而，飛狗的機槍兵個數也已經不少了。野貓和飛狗的兵在飛狗的家門口相遇了，於是，便有一場腥風血雨和陣陣慘叫聲。由於是在飛狗的家門口，飛狗的兵補給會很快，野貓看敵不過，決定撤退。這時飛狗的兵力也不足夠多，所以沒追出來。
由於不允許造醫生，機槍兵沒辦法補血。受傷的兵只好忍了。555－
現在，野貓又攢足了足夠的兵力，決定發起第二次進攻。為了使這次進攻給狗狗造成更大的打擊，野貓決定把現有的兵分成兩部分，從兩路進攻。由於有些兵在第一次戰鬥中受傷了，為了使兩部分的兵實力平均些，分的規則是這樣的：1）兩部分兵的個數最多只能差乙個；2）每部分兵的血值總和必須要盡可能接近。現在請你編寫乙個程式，給定野貓現在有的兵的個數以及每個兵的血格值，求出野貓按上述規則分成兩部分後每部分兵的血值總和。
輸入格式 input format
第一行為乙個整數n(1<=n<=200)，表示野貓現在有的機槍兵的個數。以下的n行每行乙個整數，表示每個機槍兵的血格(1<=ai<=40)。
輸出格式 output format
只有一行，包含兩個數，即野貓的每部分兵的血值總和，較小的乙個值放在前面，兩個數用空格分隔。
樣例輸入 sample input
樣例輸出 sample output
35 52
時間限制 time limitation
各個測試點1s
分析揹包問題的變形
首先要正確理解題意：分成兩隊人，人數最多相差1，就是要把總人數均分，一隊為n div 2，另一對為n-n div 2
用搜尋的話，只需列舉構造一兵的情況即可，總的狀態數大約為c(n)(n div 2),前兩組資料都可以搜過，資料中還有一種特殊情況，就是所有兵的攻擊力相同。如果騙分程式的話，最多可得30分。
正解當然是動態規劃。
如果我們將選擇的人數也看成一種體積的話，之後類似裝箱問題，將最優性問題轉化為判定性問題，可以寫出下面的方程：
f[i,j,k]表示前i個人中選了j個人，能否達到k的攻擊力。為boolean型別
f[i,j,k]:=f[i-1,j,k] or f[i-1,j-1,k-a[i]]
顯然之和第i個人選不選有關，所以說是揹包問題的變形。如果是三維的方程，由題目中的資料範圍大概是200*100*40*200(注意，題目中特別強調最大攻擊力是有提示性的，給出了k迴圈的上界(j*40),大約305mb（高二的小盆友會算記憶體嗎？）
毫無選擇，必須優化。根據0/1揹包的原理，我們可以壓縮一維狀態：
f[j,k]:=f[j,k] or f[j-1,k-a[i]]
當然j和k都需要倒序迴圈！
計算一下時間複雜度，大約是10^7
這道題不是很難，基本符合noip的要求，但是需要一定的思維量和對揹包問題的深刻理解。
program liukeke;var a:array[1..200] of longint;
f:array[0..200,0..8000] of boolean;
n,i,sum,k,j,n2:longint;
begin
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
readln(a[i]);
inc(sum,a[i]);
end;
n2:=n div 2;
f[0,0]:=true;
for i:=1 to n do
for j:=n2 downto 0 do
for k:=j*40 downto a[i] do
f[j,k]:=f[j,k] or f[j-1,k-a[i]];
for i:=(sum div 2) downto 0 do
if f[n2,i] then
begin
write(i,' ',sum-i);
break;
end;
end.
反思這道題中的揹包是抽象的，要抽象出一維體積，將問題完美的轉化為二維揹包。
有時，最優性問題很難求解，要把最優性問題轉化成判定性問題。
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