求解線性dp的序列問題

lis（longest increasing subsequence）最長上公升子串行 

乙個數的序列bi，當b1 < b2 < … < bs的時候，我們稱這個序列是上公升的。

對於給定的乙個序列(a1, a2, …, an)，我們可以得到一些上公升的子串行(ai1, ai2, …, aik)，

這裡1 <= i1 < i2 < … < ik <= n。 

比如，對於序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上公升子串行，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。

這些子串行中最長的長度是4，比如子串行(1, 3, 5, 8). 

你的任務，就是對於給定的序列，求出最長上公升子串行的長度。

兩種求解方法：

one：o(n^2):

狀態設計：dp[i]代表以a[i]結尾的lis的長度 

狀態轉移：dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1) (0<=j< i, a[j]< a[i]) 

邊界處理：dp[i]=1 (0<=j< n) 

**：

1

intlis()212
}13for(int i=1;i<=n;i++)
14         ans=max(ans,dp[i]);
15return
ans;
16 }

a[i]表示第i個資料。 

dp[i]表示表示長度為i+1的lis結尾元素的最小值。 

利用貪心的思想，對於乙個上公升子串行，顯然當前最後乙個元素越小，越有利於新增新的元素，這樣lis長度自然更長。 

因此，我們只需要維護dp陣列，其表示的就是長度為i+1的lis結尾元素的最小值，保證每一位都是最小值，

這樣子dp陣列的長度就是lis的長度。

dp陣列具體維護過程同樣舉例講解更為清晰。 

同樣對於序列 a(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，dp的變化過程如下：

這樣子dp陣列就維護完畢，所求lis長度就是dp陣列長度4。 

通過上述求解，可以發現dp陣列是單調遞增的，因此對於每乙個a[i]，先判斷是否可以直接插入到dp陣列尾部，

即比較其與dp陣列的最大值即最後一位；如果不可以，則找出dp中第乙個大於等於a[i]的位置，用a[i]替換之。 

這個過程可以利用二分查詢，因此查詢時間複雜度為o(logn)，所以總的時間複雜度為o(n*logn)

1

intlis()213
return pos+1
;14 }

1

intlcs()213
}14return
dp[n][n];    
15 }

one：o(n^3)

解析：f[i][j]表示以b[j]結尾，字串a[i]之前的公共上公升子串行最大長度;

顯然：f[i][j]>=f[i−1][j];;

遞推：若a[i]!=b[j]：f[i][j]=f[i−1[j];

若a[i]==b[j]：f[i][j]=max(f[k][j])+1;(1<=k<=j-1&&b[j]>b[k])

1

intlcis()
217                 dp[i][j]=maxx+1
;18                 ans=max(dp[i][j],ans);19}
20}21}
22return
ans;
23 }

優化：通過記錄對於當前a[i]與b[1-m]的匹配過程中的最大上公升子串行mm，邊記錄，邊更新，降低一維

1

void
lcis()214
}15int ans=0;16
for(int i=1;i<=n;i++)
17         ans=max(ans,dp[n][i]);
18return
ans;
19 }

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