質數有關知識總結加複習

一、基本的思想和定理。

算數基本定理，也叫唯一分解定理。指的是乙個大於一的合數都可以分解為有限個質數相乘。即n=p1

a1p2

a2*.....*pn

an。p即為質數，a為質數的指數。

二、一些重要的公式。

1、求約數個數和約數的和。

給定一正整數n,求n的所有約數的個數。公式：num=（a1+1)*(a2+1)*......*(an+1)。至於原理，我理解的思路是，按照組合原則，p1

a1一共有(a1+1)種情況，其餘的以此類推。

2、求約數個數的和。

給定乙個正整數n，求n的所有約數之和。公式：sum=(1+p1

1+p1

2+.....+p1

n)*(1+p2

1+p2

2+.....+p2

n)*......*(1+pn

1+pn

2+...+pn

n)。原理就是，把n的約數和分解為pa的約數和。

3、尤拉函式。

φ(n)表示為某乙個正整數的尤拉函式：小於n的正整數中和n互質的正整數的個數。

尤拉函式具有以下三個特性：

// 1、φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2 )*(1-1/p3)*.....*(1-1/pn)；

// 2、若m為質數，n%m==0，則φ(m*n)=m*φ(n)；

// 3、若m,n互質，則φ(n*m)=φ(m)*φ(n)。

三、c++**。

1、如何判斷素數。

// 常規的方法是判斷n是否能被2到n之間的數整除，如果能夠整除，則說明n有除了1以外的其他因數，則n不是質數。

優化後的思路是：假如存在乙個數（不一定為正整數）i，使得i*i=n，則我們可以從2到i之間的數進行判斷，因為兩個數之間成反比關係，乙個肯定大於等於i，另乙個肯定小於等於i。那麼，只要保證在2到i之間沒有正整數可以整除n，我們就可以知道，n一定為質數。

bool is_prime(int
n)    }
return
true
;}

2、如何分解質因數。

// 分解質因數首先從最小的質數開始分解，如果能夠被整除，則一直迴圈到不能被整除為止，在此期間還可以計算質因數出現的次數。

同樣也可以進行優化，和如何判斷質數的優化方法一樣，如果有這樣的數i，我們就可以在<=i處提前判斷完成，因為在判斷前面的質數之後，大於i的部分不可能會有質數再被整除。

除非當我們整除這些質數之後的n，本身就是乙個比較大的質數，這時候，我們可以在最後判斷n是否大於1，是的話，n即為質數。比如1004=2^2*251。在我們列舉2之後，n的值就變成了251，這時候從3到sqrt(251,1/2)之間都沒有數整除n。

vectorint,int>>v;
int prime_factorization(int
n));}}
}if(n>1
));    }
}

// 如果對動態陣列不熟悉，可以嘗試用結構來構建。

3、篩選素數之埃式篩選法（e_sieve)

// 埃式篩選的原理也很簡單，在我們找到乙個素數之後，素數的倍數一定不是素數。根據這一原則，我們就可以進行篩選了。

優化的地方和上面一樣，首先是找素數的過程，到i處就可以了。然後是在素數的倍數方面，當i=5時，2*5，3*5，4*5已經在前面優化過了。這時候從5*5開始篩選就可以了。

時間複雜度o(nloglogn)

int
primes[maxx];
bool
vis[maxx];
void e_sieve(int
n)        }
}}

4、篩選素數之線性篩（linear_sieve)

// 線性篩主要是針對埃篩的一些問題進行解決，以使得時間複雜度降低。埃篩的主要問題是乙個數可以被兩個質數篩選。即使是優化後的**。比如12被2和3兩個質數篩選。

優化方面會有一些難懂。推薦先記憶模板，再慢慢理解。

優化的地方在：我們在篩選的時候，讓合數被最小質因數篩選。加乙個判定條件就可以了。

時間複雜度o(n)

int
primes[maxx];
bool
vis[maxx];
void
linear_sieve(int n)
for (int j = 0; primes[j] * i <= n;j++)}}
}

對於第二個for迴圈裡的if語句，就是說，如果i可以整除primes[j]，那麼primes[j+1]一定不是primes[j+1】*i的最小質因數。比如i=2,primes[0]=2;2%2=0,下乙個質數為3，而2*3的最小質因數為2，因此break;

// 可以自己手動列式子理解一下。

5、篩選素數之尤拉篩。//放到後面去講

6、求所有約數

// 和找質因數一樣的道理。

vectorv;
void divisor_find(int
n)        }
}}

7、求所有約數的個數。

// 根據公式求就可以了。分解質因數記錄質數的指數。

int
cnt[maxx];
int k = 0
;int number_of_divisor(int
n)            cnt[k++] =s;}}
int sum = 0
;    
for (int i = 0; i < k;i++)
return
sum;
}

8、求所有約數的和。

// 一樣的道理，根據公式求即可。不過要注意的是，可能會用到費馬小定理。但是這裡我們還是要注意乙個公式就是x/y%mod可以轉換為x%(y*mod)/y;

ll quickpow(ll a,ll b)
b >>= 1
;        a = (a *a);
}return
res;
}int
a[maxx], b[maxx];
int k = 0
;int sum_of_divisor(int
n)            a[k] =i;
b[k] =s;
k++;}}
if(n>1
)    
intsum;
for (int i = 0; i < k;i++)
return
sum;
}

9、尤拉函式

// n*(i-1/p)可以換成n/p*(p-1)。然後按公式寫就可以了。

int euler_function(int
n)        }
}if(n>1
)    
return
res;
}

10、尤拉篩

// 根據尤拉函式三個特性寫

int
primes[maxx], phi[maxx];
bool
vis[maxx];
void
euler_sieve()
for (int j = 0; primes[j] * i <= n;j++)
else}}
}

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