本章的課後題看一下即可，比較平凡。
3.1漸近記號
引用一下別人的答案，非常感謝：
|概念回顧|
當輸入規模大到使只有執行時間的增長量級有關時，就使在研究演算法的漸進效率。
幾個重要漸進記號的定義：
|習題解答|3.1-1 設f(n)與g(n)都是漸進非負函式。利用θ記號的基本定義來證明max(f(n),g(n))=θ(f(n)+g(n))。
證明：因為f(n)和g(n)都使漸進非負函式，同時假設存在這樣的整數c1,c2和n0，使得：
0<=c1(f(n)+g(n))<=max(f(n)+g(n))<=c2(f(n)+g(n)) 成立。
令c2=1，則第3個不等式顯然成立，因為兩正數之和定大於兩個中的最大值；再令c1=1/2，則第2個不等式也成立，因為兩正數中最大的乙個數定大於或等於兩數的平均值；第1個不等式，因為f(n)與g(n)都使漸進非負，所以也顯然成立。綜上，既該等式確實成立。最後再根據θ記號的定義可得：max(f(n),g(n))=θ(f(n)+g(n))。
3.1-2 證明對任意實常數a和b，其中b>0，有
[2](n+a)^b=θ(n^b)
證明：要想證明上式成立，先要來證明等式：
[1]0<=c1(n^b)<=(n+a)^b<=c2(n^b)
也就使說存在兩個正常數c1,c2，使得當n充分大時(n+a)^b，能夠被夾在c1(n^b)和c2(n^b)中間。顯然，因為b>0，c1,c2已知為正常數，所以第乙個等式：0<=c1(n^b)當n充分大時成立。接著，第
二、三個等式分別除於(n^b)後得(n^b不可能為0)：c1<=((n+a)/n)^b<=c2，進一步推得：c1<=(1+a/n)^b<=c2。又因為，a,b均為實常數，且當n充分大時，a/n趨向於0。所以，c1,c2分別可取值1/2,2，使得等式成立，等式(1)成立，也就證明了等式(2)成立。
3.1-3 解釋為什麼「演算法a的執行時間至少是o(n²)」這句話是無意義的。
答：根據o記號的定義可知，它是用來表示上界的，當用它作為演算法的最壞情況執行時間的上界時，就有對任意輸入的執行時間的上界。我們說「乙個演算法a的執行時間為o(n²)」，它表示的是說該演算法執行時間的乙個上界，適用於每個輸入的執行時間，這與題中的「至少是」表達的是同乙個意思。所以題中的話是無意義的。
3.1-4 2^(n+1)=o(2^n)成立嗎？2^(2n)=o(2^n)成立嗎？
答：第乙個成立；第二個不成立。
因為，[1]0<=2^(n+1)<=c(2^n)，當n充分大時，第乙個等式0<=2^(n+1)顯然成立。第二個等式兩邊分別除以2^n，得：2<=c，即c>=2。即存在這樣兩個正常數c(c可取大於等於2的任意乙個常數)使得等式(1)成立，所以得：2^(n+1)=o(2^n)成立。
同理，0<=2^(2n)<=c(2^n)，第二個等式兩邊除以(2^n)得：2^n<=c，因為c為正常數，當n充分大時，不存在這樣的c使之成立，也就證明了，2^(2n)=o(2^n)不成立。
3.1-5 證明定理3.1
定理3.1 在o中表示當n趨於無窮大時，函式f(n)相對於g(n)來說就不重要了。
證明：根據o記號的定義：對f(n)=o(g(n))，界o<=f(n)<=cg(n)對所有常數c>0成立，這句話說明了函式g(n)的增長速度要快於f(n)，當n趨向無窮大時，差距就更大了。所以等式3.1時成立的。
3.1-6 證明：乙個演算法的執行時間是θ(g(n))當且僅當其最壞情況執行時間o(g(n))，且最佳情況執行時間是ω(g(n))。
證明：乙個演算法的執行時間是θ(g(n))，則說明存在這樣兩個正常數c1,c2使得(當n充分大時)：0<=c1g(n)<=f(n)<=c2g(n)，因而等式0<=c1g(n)<=f(n)成立，完整地說，即存在正常數c1和n0，使得對所有n>=n0，有0<=c1g(n)<=f(n)成立。所以，根據ω記號的定義得：該演算法的最佳情況執行時間是ω(g(n))。同理，因為等式0<=f(n)<=c2g(n)成立，所以該演算法的最壞情況執行時間是o(g(n))。綜上，證得該說法成立。
3.1-7 證明o(g(n))∩ω(g(n))是空集。
證明：根據o(g(n))=，而集合ω(g(n))=。
給出對應的ω(g(n,m))和θ(g(n,m))的定義。
[1] ω(g(n,m))=
[2] θ(g(n,m))=
3.2標準記號
下面這個答案比較靠譜，引用一下別人的答案，非常感謝：
非常遺憾的是，乙個方向沒有證出來。利用斯特林公式就容易證明了。關於斯特林公式;
3.2-4
前者不是多項式有界的，後者是多項式有界的。
3.2-5
第二個，因為第二個不過就是lg*n – 1 顯然比第乙個大。
3.2-6
顯然，代入即可。
3.2-7
數學歸納法可驗證。
3.2-8
這個問題可以將左邊去ln，再進行推導。
思考題題目已經解決了，公式太多不打了。
第三章讀書筆記
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第三章 查詢 三 《演算法》讀書筆記
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