可旋轉Treap 樹堆總結

樹堆，在資料結構中也稱treap，是指有乙個隨機附加域滿足堆的性質的二叉搜尋樹，其結構相當於以隨機資料插入的二叉搜尋樹。其基本操作的期望時間複雜度為o(logn)。相對於其他的平衡二叉搜尋樹，treap的特點是實現簡單，且能基本實現隨機平衡的結構。

在深入了解treap之前，我們先來了解一下bst。

bst(binary-search tree),即二分搜尋樹，是一棵二叉樹，且滿足性質：若每個節點都有乙個key值，則對於每個根節點，均滿足key[leftson]

其特點可以幫助我們快速查詢樹中的某些元素。舉個例子，如果我們要查詢2元素，那麼先與6比較，比6小，那麼進入6的左子樹，再與5進行比較，比5小，進入5的左子樹，我們就成功地找到了2。這比我們暴力查詢要快得多。但是缺點也很顯著。比如說，如果輸入資料滿足單調遞增性質，那麼我們在建樹時便會將其建成一條鏈，從而導致其演算法的複雜度退化。當然，特定情況下，我們可以借助random—shuffle函式將資料打亂，但是一般情況下，bst便有著很大的侷限性。因此我們需要一種更高階的資料結構來克服這種侷限性，便是我們的treap。

treap=tree+heap，顧名思義，treap便是一種樹與堆的結合體。總的來說，就是在維護bst性質的同時，給與每個節點乙個隨機的random值，同時保證random值滿足小根堆的性質。這樣，便可以輕而易舉的防止複雜度的退化。

在了解了treap的原理之後，我們便可以嘗試用**來實現其功能。下面以洛谷-p3369普通平衡樹為例，一道典型並且操作齊全的模版題，其主要要求我們完成6個操作：

插入x數

刪除x數(若有多個相同的數，因只刪除乙個)

查詢x數的排名(排名定義為比當前數小的數的個數+1。若有多個相同的數，因輸出最小的排名)

查詢排名為x的數

求x的前驅(前驅定義為小於x，且最大的數)

求x的後繼(後繼定義為大於x，且最小的數)

首先便是隨機值的實現。由於中的rand()函式速度較慢且侷限性較大，在資料結構中不太適用，所以在這裡建議rand函式的功能用手寫來實現。

隨機函式：

int
rand()

稍微優化後可以變為這樣(雖然沒什麼用)：

inline int
rand()

然後還需要乙個函式來更新每個節點的資訊，也是十分的淺顯易懂：

void update(int
p)

在我們維護treap的過程中，子樹大小的維護也時時刻刻都是有必要的，在每個函式中都應該有體現，具體維護方式如下：

對於旋轉,我們要在旋轉後對子節點和根節點分別重新計算其子樹的大小。

對於插入,在尋找插入的位置時,每經過乙個節點,都要先使以它為根的子樹的大小增加 1,再遞迴進入子樹查詢。

對於刪除,在尋找待刪除節點,遞迴返回時要把所有的經過的節點的子樹的大小減少 1。要注意的是,刪除之前一定要保證待刪除節點存在於 treap 中。

維護子樹的大小也是treap的乙個關鍵部分。

那麼現在便來到了最關鍵也是treap中最核心的一步：如何維護堆的性質，即如何在treap中插入元素(ins)。

對於treap中的每個元素，為保證我們堆的性質，插入操作便分為了兩種操作：左旋(lturn),右旋(rturn)。下面重點講解這兩種操作。

下面畫了乙個圖以便理解：

以上圖為例，我們可以看到，從左到右便是右旋的過程，使得根節點由u變為了x。由於a仍比x小，所以x的左子樹仍為a，u比x大，所以為x的右子樹，但對於b，大於x小於u，所以應在x的右子樹，u的左子樹，同理，c應在u的右子樹，旋轉完畢。這便是右旋的過程。

理解了右旋的過程之後，我們也可以較為輕鬆的寫出右旋的**，為了方便，加了個小小的傳引用：

void rturn(int &k)

左旋轉的過程就是上圖從右到作的過程，**實現也同理：

void lturn(int &k)

了解這兩種操作後，插入元素就變得得心應手了，先把要插入的點插入到乙個葉子上，然後跟維護堆一樣，如果當前節點的優先順序比根大就旋轉，如果當前節點是根的左兒子就右旋，如果當前節點是根的右兒子就左旋。依然舉兩個例子來幫助理解：

如圖所示，我們需要把d和f元素插入到treap中，對於d，先將其放在乙個葉子節點，然後與其父親相比較發現比父親小卻在父親的右子樹上，所以我們需要對d進行右旋操作，同理，f元素經過一次次的比較，一次次的旋轉，最終也可以到達如圖所示的位置。

至此，我們已經基本解決了對於treap的插入操作。

**如下：

void ins(int &p,int
x)    size[p]++;
if (v[p]==x) ct[p]++;
else
if (x>v[p])
else
}

接下來是刪除操作(del)，刪除操作算是treap中最難理解的操作了吧(主要因為**長╮(╯▽╰)╭)。本可以通過兩種方式來達成刪除操作，但對於初學者來講，這裡推薦並主要講解其中一種方式。

注意到treap的性質，即必須滿足堆的性質，所以對於treap，我們也可以用刪除堆的方式，借助旋轉操作，加以解決。

如果該節點的左子節點的key小於右子節點的key，右旋該節點,使該節點降為右子樹的根節點，然後訪問右子樹的根節點,遞迴地操作下去；反之同理。實質上即為讓key小的節點有限旋到上面，保證堆的性質，進而進行刪除操作。

刪除操作比較難以理解，希望通過**可以加深對其的認識。

**實現：

void del(int &p,int
x)    }
else
if (x>v[p]) size[p]--,del(r[p],x);
else size[p]--,del(l[p],x);
}

解決完刪除操作後，查詢(query)操作便顯得較為簡單，按照一般樹上問題解決方式統計即可，這裡不多贅述，其中query1代表查詢x數的排名，query2代表查詢排名為x的數。

**實現：

int query1(int p,int
x)

int query2(int p,int
x)

最後，我們來處理一下前驅與後繼的問題。前驅定義為小於x，且最大的數，後繼定義為大於x，且最小的數，也較為簡單，過程中維護一下max和min即可輕易地解決。

該部分**：

int findfront(int p,int
x)

int findback(int p,int
x)

至此，treap中的所有操作都已經解決。將這些操作拼接串聯起來，便構成了treap的基本框架，完整模版如下(以普通平衡樹為例)：

#include #include 
#include 
using
namespace
std;
#define inf 300000030
int l[100100],r[100100],v[100100],size[100100],rnd[100100],ct[100100
];int
sz;void update(int
p)void lturn(int &k)
void rturn(int &k)
void ins(int &p,int
x)    size[p]++;
if (v[p]==x) ct[p]++;
else
if (x>v[p])
else
}void del(int &p,int
x)    }
else
if (x>v[p]) size[p]--,del(r[p],x);
else size[p]--,del(l[p],x);
}int query1(int p,int
x)int query2(int p,intx) 
int findfront(int p,int
x)int findback(int p,int
x)int
ss;int
main()
}

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