最近初學樹狀陣列，原理還不是太理解，等自己什麼時候完全理解了再自己總結一番。
先貼一下樹狀陣列的模板**：
int lowbit(int i)
void update(int i,int val)//單點更新
}int sum(int i)//求區間[1,i]內所有元素的和
return ret;
}
現在變形一下：
現在定義每一列的頂端節點c陣列（其實c陣列就是樹狀陣列），如圖：
c[i]代表子樹的葉子節點的權值之和，如圖可以知道：
c[1]=a[1];
c[2]=a[1]+a[2];
c[3]=a[3];
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
c[5]=a[5];
c[6]=a[5]+a[6];
c[7]=a[7];
c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];
將c陣列的下標i轉化成二進位制：
1=(001) c[1]=a[1];
2=(010) c[2]=a[1]+a[2];
3=(011) c[3]=a[3];
4=(100) c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
5=(101) c[5]=a[5];
6=(110) c[6]=a[5]+a[6];
7=(111) c[7]=a[7];
8=(1000) c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];
對照式子可以發現：c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+......+a[i];（k為i的二進位制中從最低位到最高位連續零的個數）
例如：當i=8時，k=3，可以自行代入驗證。現在引入lowbit(x)：其實就是取出x的二進位制的最低位1，換言之，lowbit(x)= 2^k，k的含義與上面相同。
int lowbit(int i)
/*-i 代表i的負數 計算機中負數使用對應的正數的補碼來表示
例如 : i=6（0110） 此時 k=1
-i=-6=(1001+1)=(1010)
i&(-i)=(0010)=2=2^1
c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+......a[i];
c[i]=a[i-lowbit(i)+1]+a[i-lowbit(i)+2]+......a[i];
*/
①i=7，前7項和：sum[7]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]；
而c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]；c[6]=a[5]+a[6]；c[7]=a[7]；可以得到：sum[7]=c[4]+c[6]+c[7]。
陣列下標寫成二進位制：sum[(111)]=c[(100)]+c[(110)]+c[(111)]；
②i=5，前5項和：sum[5]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]；
而c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]；c[5]=a[5]；可以得到：sum[5]=c[4]+c[5]；
陣列下標寫成二進位制：sum[(101)]=c[(100)]+c[(101)]；
細細觀察二進位制，樹狀陣列追其根本就是二進位制的應用，結合**演示一下**過程：
int sum(int i)//求區間[1,i]所有元素的和
return ret;
}
7(111) ans+=c[7]
lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=c[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=c[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break；
對於i=5進行演示：
5(101) ans+=c[5]
lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=c[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break；
最後是單點更新：當我們修改a陣列中某個值時，應當如何更新c陣列呢？回想一下，區間查詢的過程，再看一下上文中列出的過程。這裡宣告一下：單點更新實際上是不修改a陣列的，而是修改樹狀陣列c，向上更新區間長度為lowbit(i)所代表的節點的值。
void update(int i,int val)//更新單節點的值
} //可以發現 更新過程是查詢過程的逆過程
//由葉子結點向上更新c陣列
如圖：當在a[1]加上值val，即更新a[1]時，需要向上更新c[1],c[2],c[4],c[8]，這個時候只需將這4個節點每個節點的值加上val即可。這裡為了方便大家理解，人為新增了個a陣列表示每個葉子節點的值，事實上a陣列並不用修改，實際運用中也可不設定a陣列，單點更新只需修改樹狀陣列c即可。下標寫成二進位制：c[(001)],c[(010)],c[(100)],c[(1000)]；
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) c[2]+=val；
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) c[4]+=val；
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) c[8]+=val；
最後說一下樹狀陣列的優缺點：①特點：**短小，實現簡單；容易擴充套件到高緯度的資料；
②缺點：只能用於求和，不能求最大/小值；不能動態插入；資料多時，空間壓力大。
霜雪千年
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