講兩道常考的階乘演算法題

172.階乘後的零

793.階乘後k個零

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1、輸入乙個非負整數n，請你計算階乘n!的結果末尾有幾個 0。

比如說輸入n = 5，演算法返回 1，因為5! = 120，末尾有乙個 0。

函式簽名如下：

int trailingzeroes(int n);

2、輸入乙個非負整數k，請你計算有多少個n，滿足n!的結果末尾恰好有k個 0。

比如說輸入k = 1，演算法返回 5，因為5!,6!,7!,8!,9!這 5 個階乘的結果最後只有乙個 0，即有 5 個n滿足條件。

函式簽名如下：

int preimagesizefzf(int k);

我把這兩個題放在一起，肯定是因為它們有共性，下面我們來逐一分析。

肯定不可能真去把n!的結果算出來，階乘增長可是比指數增長都恐怖，趁早死了這條心吧。

那麼，結果的末尾的 0 從**來的？我們有沒有投機取巧的方法計算出來？

首先，兩個數相乘結果末尾有 0，一定是因為兩個數中有因子 2 和 5，因為 10 = 2 x 5。

也就是說，問題轉化為：n!最多可以分解出多少個因子 2 和 5？

比如說n = 25，那麼25!最多可以分解出幾個 2 和 5 相乘？這個主要取決於能分解出幾個因子 5，因為每個偶數都能分解出因子 2，因子 2 肯定比因子 5 多得多。

25!中 5 可以提供乙個，10 可以提供乙個，15 可以提供乙個，20 可以提供乙個，25 可以提供兩個，總共有 6 個因子 5，所以25!的結果末尾就有 6 個 0。

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現在，問題轉化為：n!最多可以分解出多少個因子 5？

難點在於像 25，50，125 這樣的數，可以提供不止乙個因子 5，怎麼才能不漏掉呢？

這樣，我們假設n = 125，來算一算125!的結果末尾有幾個 0：

首先，125 / 5 = 25，這一步就是計算有多少個像 5，15，20，25 這些 5 的倍數，它們一定可以提供乙個因子 5。

但是，這些足夠嗎？剛才說了，像 25，50，75 這些 25 的倍數，可以提供兩個因子 5，那麼我們再計算出125!中有 125 / 25 = 5 個 25 的倍數，它們每人可以額外再提供乙個因子 5。

夠了嗎？我們發現 125 = 5 x 5 x 5，像 125，250 這些 125 的倍數，可以提供 3 個因子 5，那麼我們還得再計算出125!中有 125 / 125 = 1 個 125 的倍數，它還可以額外再提供乙個因子 5。

這下應該夠了，125!最多可以分解出 20 + 5 + 1 = 31 個因子 5，也就是說階乘結果的末尾有 31 個 0。

理解了這個思路，就可以理解解法**了：

int trailingzeroes(int n) 
return res;
}

這裡divisor變數使用 long 型，因為假如n比較大，考慮 while 迴圈的結束條件，divisor可能出現整型溢位。

上述**可以改寫地更簡單一些：

int trailingzeroes(int n) 
return res;
}

這樣，這道題就解決了，時間複雜度是底數為 5 的對數，也就是o(logn)，我們看看下如何基於這道題的解法完成下一道題目。

現在是給你乙個非負整數k，問你有多少個n，使得n!結果末尾有k個 0。

乙個直觀地暴力解法就是窮舉唄，因為隨著n的增加，n!肯定是遞增的，trailingzeroes(n!)肯定也是遞增的，偽碼邏輯如下：

int res = 0;
for (int n = 0; n < +inf; n++) 
if (trailingzeroes(n) > k) 
if (trailingzeroes(n) == k) 
}return res;

前文二分查詢如何運用說過，對於這種具有單調性的函式，用 for 迴圈遍歷，可以用二分查詢進行降維打擊，對吧？

搜尋有多少個n滿足trailingzeroes(n) == k，其實就是在問，滿足條件的n最小是多少，最大是多少，最大值和最小值一減，就可以算出來有多少個n滿足條件了，對吧？那不就是二分查詢「搜尋左側邊界」和「搜尋右側邊界」這兩個事兒嘛？

先不急寫**，因為二分查詢需要給乙個搜尋區間，也就是上界和下界，上述偽碼中n的下界顯然是 0，但上界是+inf，這個正無窮應該如何表示出來呢？

首先，數學上的正無窮肯定是無法程式設計表示出來的，我們一般的方法是用乙個非常大的值，大到這個值一定不會被取到。比如說 int 型別的最大值int_max（2^31 - 1，大約 31 億），還不夠的話就 long 型別的最大值long_max（2^63 - 1，這個值就大到離譜了）。

那麼我怎麼知道需要多大才能「一定不會被取到」呢？這就需要認真讀題，看看題目給的資料範圍有多大。

這道題目實際上給了限制，k是在[0, 10^9]區間內的整數，也就是說，trailingzeroes(n)的結果最多可以達到10^9。

然後我們可以反推，當trailingzeroes(n)結果為10^9時，n為多少？這個不需要你精確計算出來，你只要找到乙個數hi，使得trailingzeroes(hi)比10^9大，就可以把hi當做正無窮，作為搜尋區間的上界。

剛才說了，trailingzeroes函式是單調函式，那我們就可以猜，先算一下trailingzeroes(int_max)的結果，比10^9小一些，那再用long_max算一下，遠超10^9了，所以long_max可以作為搜尋的上界。

注意為了避免整型溢位的問題，trailingzeroes函式需要把所有資料型別改成 long：

// 邏輯不變，資料型別全部改成 long
long trailingzeroes(long n) 
return res;
}

現在就明確了問題：

在區間[0, long_max]中尋找滿足trailingzeroes(n) == k的左側邊界和右側邊界。

根據前文二分查詢演算法框架，可以直接把搜尋左側邊界和右側邊界的框架 copy 過來：

/* 主函式 */
int preimagesizefzf(int k) 
/* 搜尋 trailingzeroes(n) == k 的左側邊界 */
long left_bound(int target)  else if (trailingzeroes(mid) > target)  else 
}return lo;
}/* 搜尋 trailingzeroes(n) == k 的右側邊界 */
long right_bound(int target)  else if (trailingzeroes(mid) > target)  else 
}return lo - 1;
}

如果對二分查詢的框架有任何疑問，建議好好複習一下前文二分查詢演算法框架，這裡就不展開了。

現在，這道題基本上就解決了，我們來分析一下它的時間複雜度吧。

時間複雜度主要是二分搜尋，從數值上來說long_max是 2^63 - 1，大得離譜，但是二分搜尋是對數級的複雜度，log(long_max) 是乙個常數；每次二分的時候都會呼叫一次trailingzeroes函式，複雜度 o(logk)；所以總體的時間複雜度就是 o(logk)。

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