一、二叉平衡樹的時間複雜度
在資料結構（五）：樹中的二叉查詢樹中，我們發現當二叉樹平衡時，我們查詢乙個元素需要遍歷的層級是log(n+1)，按照大o演算法可得時間複雜度為logn，這種查詢比鍊錶和陣列的o（n）演算法要
高效得多。
但是當二叉樹不平衡時，我們發現它的查詢效率依舊是o（n），比如如下情況：
二、2-3樹概述
為了保證二叉樹的平衡，提高樹查詢的效率，減少遍歷的層級，我們允許乙個結點保留多個鍵，並且鏈結的不止兩條鏈
2-結點：
含有乙個鍵和兩條鏈，左鏈指向的鍵都小於該結點，右鏈指向的鍵都大於該結點
3-結點：
含有兩個鍵和三條鏈，左鏈指向的鍵都小於該結點，右鏈指向的鍵都大於該結點，中鏈指向的的鍵介於該結點的兩個鍵之間
注：2-3樹中不允許有大於等於3個鍵的結點存在
三、2-3查詢樹
2-3樹的查詢思路與二叉查詢樹相似，對於需要查詢的鍵，從根結點開始遍歷，小於往左，大於則往右，當找到3-結點時，若查詢的鍵介於3-結點的兩個鍵之間，則找中鏈結對應的結點，命中則返回。
查詢過程沒命中時則繼續遞迴查詢子樹。
如圖：查詢鍵為h的結點，首先找根結點m，由於h
查詢到左子樹為3-結點，判斷h>e並且h
四、2-3樹的插入
往2-3樹中插入結點的思路和二叉樹一致，首先進行查詢，根據2-3樹的特性將結點掛到合適的位置，保持樹的平衡。由於2-3樹既包含2-結點同時也包含3-結點，因此在插入時針對不同型別的結點
有不同的處理方式：
一、往2-結點中插入新鍵
插入k：往2-結點中插入新鍵時，我們可以保證樹層級不變的基礎上，將2-結點轉化為3-結點
二、往只有乙個3-結點中插入新鍵
往3-根結點中插入s
將中鍵提公升為根結點，左右兩鍵成為左右子樹
三、往乙個父結點為2-結點的3-結點中插入新鍵
往該2-3樹中插入元素z
將3-結點的中間元素往上提
四、往乙個父結點為3-結點的3-結點中插入新鍵
往該2-3樹中插入元素d
將插入後形成的3-結點往上提
將形成的3-父節點再次取中間值往上提公升一層
五、插入結點到根結點的路徑上是3-結點
往該2-3樹中插入d
將插入後形成的3-結點取中間值往上提
將形成的3-根結點再次分解
五、2-3樹總結
5.1平衡的2-3樹特性：
（1）任意空鏈結到根結點的長度是相等的
（2）非根結點的4-（3個鍵）結點變化為3-結點時，樹高不變，只有當4-結點為根結點，分解後樹的高度才會+1
（3）2-3樹與普通二叉樹相比，不同的是2-3樹自底向上生長，普通二叉樹自頂向下生長。
5.2引入2-3樹思想的理由
2-3樹本身的實現是很困難的，引入2-3樹的思想是為了下一章節的紅黑樹做鋪墊
資料結構（六） 複雜樹之紅黑樹
一 紅黑樹概述 紅黑樹是對2 3樹的編碼，即用二叉樹結點單鍵單值的形式來表示2 3樹，具體措施是對兩個結點相連的鏈結標記顏色。二 紅黑樹特性 1 紅鏈結都為左鏈結 2 沒有任何乙個結點同時和兩條紅色鏈結相連 3 紅黑樹是完美平衡的二叉樹，即任意空鏈結到根結點的黑鏈結數量相等 4 紅黑樹的根結點鏈結永...
資料結構 六 樹
一直對樹的概念比較模糊，什麼紅黑樹啊，二叉搜尋樹等很多沒有乙個完整的知識體系結構，所以今天準備花一天的時間做乙個總結，力求搞明白樹的全部知識，不同樹之間的體系結構，以及一些常見應用。樹的定義有兩種方式。樹 tree 是包含n n 0 個結點的有窮集，其中 樹也可以這樣定義 樹是由根結點和若干顆子樹構...
資料結構 六 樹
未完待續 樹的概念 子樹 根結點 內部結點 葉結點或終端結點 深度或高度 根為第一層，根的孩子為第二層，依次類推，樹中結點最大的層數就稱為深度或高度。在樹中，如果任意乙個結點的子樹，從左到右都是有次序的，那麼這棵樹被稱為有序樹，反之則為無序樹。森林 由多棵不相交的樹的集合。樹的儲存結構 雙親表示法 ...