二分搜尋以及其擴充套件形式

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二分搜尋使用的前提是陣列必須有序，在本文中，我們用lo（low）表示查詢範圍的起始下標，hi（hight）表示查詢範圍的結束下標，mid表示lo和hi的中間位置。

1. 一般情況二分搜尋

/*普通二分搜尋，如果找到key，返回任意乙個和key相等的元素下標，否則返回-1*/
public static int find(int a, int key)else if(a[mid] < key)else
}		return -1;
}

現在我們來看正常的二分搜尋，我們來討論一下如果沒有找到這這個元素時，lo和hi下標的元素值和key的大小關係。如果沒有找到key,最後乙個查詢的位置一定是lo == hi的位置，下標lo之前元素的一定比key小，下標hi之後元素的一定比key大。如果當前位置（即lo和hi的下標）比key大，hi減小1；如果當前位置比key小，lo增加1。總之lo會比hi大1，結束迴圈。如果沒有找到key，lo和hi兩者之一有可能越界，hi越界時 hi為-1，lo越界時lo為a.length。在沒有越界的情況下，迴圈結束以後，a[hi] < key，a[lo] > key。所以, 如果沒有找到這這個元素，a[hi]是小於key中最接近key的值，a[lo]是大於key中最接近key的值。

2. 最小下標二分搜尋

問題：如果不存在key，返回-1，如果存在key，返回和key相等的元素中的最小的下標。

思路：如果a[mid] == key 則用lastfind記錄下mid，然後在[lo, mid-1]中繼續繼續查詢，如果在這個新範圍內還能找到和key相等的元素下標，則替換lastfind，然後更新lo和hi,繼續迭代上述過程，直到lo > hi；如果沒有找到，lastfind就是最小下標。

/*如果不存在目標元素，返回-1， 如果存在目標元素，返回和目標元素相等中下標最小的*/
public static int findwithminindex(int a, int key)else if(a[mid] < key)else
}		return lastfind;
}	/*上述問題的第二種實現方法
public static int findwithminindex(int a, int target)else
}		if(lo < a.length && a[lo] == target)else
}	*/

同理，我們可以解決大於等於key的元素個數的問題。

3. 小於key的元素個數

整個陣列中的元素可以分為兩種，大於等於key的和小於key的。如果a[mid] >= key下乙個查詢的範圍是[lo, mid-1]，如果a[mid] < key下乙個查詢的範圍是[mid+1, hi], 直到lo > hi 才退出迴圈。最後乙個查詢的位置一定是lo == hi的位置，lo下標之前的一定小於key，hi下標之後的一定大於等於key。如果當前位置（即lo和hi的下標）的元素值大於等於key，hi減小1；如果當前位置小於key小，lo增加1。所以當迴圈結束時，lo之前下標的元素都是小於key的，而這些元素的個數等於lo。

/*返回陣列元素 = key)else
}		return lo;
}

同理，我們可以解決大於key的元素個數的問題。

4. 小於等於key的元素個數

整個陣列中的元素可以分為兩種，大於key的和小於等於key的。如果a[mid] > key下乙個查詢的範圍是[lo, mid-1]，如果a[mid] <= key下乙個查詢的範圍是[mid+1, hi]，直到lo > hi 才退出迴圈。最後乙個查詢的位置一定是lo == hi的位置，lo下標之前的一定小於等於key，hi下標之後的一定大於key。如果當前位置（即lo和hi的下標）的元素值大於key，hi減小1；如果當前位置小於等於key小，lo增加1。所以當迴圈結束時，lo之前下標的元素都是小於等於key的，而這些元素的個數等於lo。

/*返回 陣列元素中 <=key 的元素個數*/
public static int findlessequalcnt(int a, int key)else
}		return  lo;
}

同理，我們可以解決大於等於key的元素個數的問題。

二分搜尋以及其擴充套件形式

二分搜尋及其擴充套件

二分搜尋及其擴充套件

二分搜尋及其擴充套件（迴圈遞增陣列的搜尋）

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