二分法，是通過不斷縮小解的可能存在的範圍，從而求得問題的最優解的方法。經常有二分與其他演算法結合的題目。
1.從有序陣列查詢某個值 -- 以stl中的lower_bound與upper_bound為例
lower_boud( begin, end, val ) 函式輸入需要查詢的有序數列前閉後開區間，查詢數列中第乙個》=val的位置。而upper_bound返回數列中第乙個》val的位置。
如果不存在符合條件的值則返回end(可能會越界)。如果數列中存在val，則[ lower_boud , upper_bound)之間的位置均為val。
lower_boud與upper_bound的實現(與stl中稍有不同):
int lower_bound( int *a, int length, intval )
return
ub;}
int upper_bound( int *a, int length, int
val )
return
ub;}
可以這樣理解：對於lower_bound，如果此時的 mid 滿足 a[ mid ] >= val ，那麼就將右端點變為mid，讓區間向左端靠近，最後的mid為最左端且滿足》=val的位置。
同理upper_bound：讓區間向滿足》val的位置靠近，一步步縮小區間長度。
2.判斷乙個解是否可行
cable master (poj no.1064 ) 參見《挑戰程式設計競賽》p140
有n條繩子，它們的長度分別是li。如果我們從它們中切割出k條長度相同的繩子的話，每條繩子最長有多長？答案保留到小數點兩位數。
與上面搜尋的思路類似，我們用c(x)：每條繩子為x滿足切割出k條的條件。每次判斷條件是否成立，如果成立則用二分的方式將區間向右端移動(lb = mid)。
那麼現在的問題是如何高效實現c(x)：對於長度為li的繩子最多能切割floor(li / x)個繩子，那麼所有能切割繩子個數的總和》=k即滿足條件。
#include#includeconst
int max_n = 10000
;const
int inf =1e8;
intn,k;
double
l[max_n];
bool c( double
x );
void
solve();
intmain()
bool c( double
x )
return cnt>=k;
}void
solve()
printf(
"%.2lf\n
",floor(lb*100)/100
); //保留二位小數
}
二分搜尋法結束的判定：在輸出小數問題中，一般會指定允許的誤差範圍或是指定輸出中小數點後面的位數。因此在使用二分搜尋法時，有必要設定合理的結束條件
來滿足精度的要求。在上面的程式中我們指定了程式的迴圈次數作為終止條件。1次迴圈可以把區間縮小一半，100次迴圈則可以達到1e-30的精度範圍，基本上是沒有
問題的。此外還可以把中製條件設為( ub - lb ) > eps，指定區間的大小。在這種條件下，如果eps取得太小，就有可能會因為浮點小數精度問題的原因陷入死迴圈，請千萬小心。
3.最大化最小值
憤怒的牛
農夫 john 建造了一座很長的畜欄，它包括n(2≤n≤100,000)個隔間，這些小隔間依次編號為x1,...,xn(0≤xi≤1,000,000,000). 但是，john的c(2≤c≤n)頭牛們並不喜歡這種布局，
而且幾頭牛放在乙個隔間裡，他們就要發生爭鬥。為了不讓牛互相傷害。john決定自己給牛分配隔間，使任意兩頭牛之間的最小距離盡可能的大，那麼，這個最大的最小距離是什麼呢?
類似最大化最小值/最小化最大值的問題，通常可以用二分法就可以很好的解決。
我們令c( d )：可以安排牛的位置使得任意兩頭牛的位置都不小於d。
c(d)的判斷可以用貪心法很好的解決：
對牛舍的位置排序
把第一頭牛放入x0的牛舍
如果第 i 頭牛放入 xi ，則第 i+1 頭牛放入 xk - xj >= d 的最小的k中
之後思路與之前類似：二分判斷，如果 d 符合條件則讓區間向右端移動(l = mid)，否則向左移動。
#include#includeusing
namespace
std;
const
int inf =1e8;
const
int max_n = 100000
;int n,m; //
n個隔間 m頭牛
intx[max_n];
bool c( int
d );
void
solve();
intmain()
bool c( int
d )
if( crt==n )
last = crt; //
更新last
}
return
true;}
void
solve()
printf(
"%d\n
",lb);
}
數列分段ii
對於給定的乙個長度為n的正整數數列a[i]，現要將其分成m（m≤n）段，並要求每段連續，且每段和的最大值最小。
關於最大值最小：
例如一數列4 2 4 5 1要分成3段
將其如下分段：
[4 2][4 5][1]
第一段和為6，第2段和為9，第3段和為1，和最大值為9。
將其如下分段：
[4][2 4][5 1]
第一段和為4，第2段和為6，第3段和為6，和最大值為6。
並且無論如何分段，最大值不會小於6。
所以可以得到要將數列4 2 4 5 1要分成3段，每段和的最大值最小為6。
最大化最小值，同樣的二分思路，唯一不同的是c( d )的實現。
令c( d )：任意段的和不大於d。其實現仍然可以用貪心法：
last初值為0
找到使得下標從last-crt和不大於d的最大crt。
last = crt + 1
#includeconstint inf =1e8;
const
int max_n = 100000
;int n,m; //
n個整數 m段
intx[max_n];
bool c( int
d );
void
solve();
intmain()
bool c( int
d )
if( crt==n )
last =crt;
} return
false; //
如果沒用完數字則不符合條件
}void
solve()
printf(
"%d\n
",ub);
}
4.最大化平均值
有n個物品的重量和價值分別是 wi 和 vi 。從中選出 k 個物品使得單位重量的價值最大。
樣例：輸入 n = 3，k = 2，( w，v ) = 輸出0.75(選擇0號和2號物品)
最開始想到的是貪心法求解：選取前 k 個單位重量價值最大的物品。但樣例就是乙個反例：按貪心策略應該選取0號和1號物品，但其單位重量價值並不是最大。
實際上這一題可以用二分法求解：
令c( x )：可以選取 k 個物品使得單位重量價值不小於x。那麼只要求滿足c( x )成立的最大x即可。
問題變為c( x )如何實現：假設我們選取物品的某個集合s，那麼其單位重量價值為∑([i∈s])vi / ∑([i∈s])wi。
c( x ) : ∑( [ i ∈ s ] )vi / ∑( [ i ∈ s ] )wi >= x -->
∑( [ i ∈ s ] )vi >= x * ∑ ( [ i ∈ s ] )wi -->
∑( [ i ∈ s ] )( vi - x*wi ) >=0
因此，我們可以對 vi - x*wi 貪心選取：選擇前 k 個最大的 vi - x * wi，判斷和是否》=0。
#include#includeusing
namespace
std;
const
int inf =1e8;
const
int max_n = 10000
;int
n,k;
intw[max_n], v[max_n];
double res[max_n]; //
儲存 vi - x*wi
bool c( double
x );
void
solve();
intmain()
solve();
return0;
}bool c( double
x )
sort(res,res+n);
/*計算res最大的k個數的和
*/double sum = 0
;
for( int i=0; i)
return sum>=0;}
void
solve()
printf(
"%.2lf\n
",lb);
}
二分法應用
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