演算法學習筆記倍增

倍增是一種非常重要的思想，在 acm/oi 中有著豐富的應用。

倍增的本質可以表述為，對於一種操作\(f(x)\)，通過計算\(f(x),f^2(x),f^4(x),\cdots,f^(x)\)來加速求解\(f^n(x)\)。假設\(f(x)\)的時間複雜度為\(o(1)\)，那麼直接計算\(f^n(x)\)的時間複雜度為\(o(n)\)，而通過倍增的方法，則可以加速到\(o(\log n)\)。

快速冪是倍增最常見的應用場景。所謂快速冪，指的是快速求解數\(x\)在模\(m\)意義下的冪\(x^y\mod m\)。

比較直接的想法是遞迴進行求解。很容易得到下面的遞迴式：

\[x^y=\left\

&1 & y=0 \\

&(x^})^2 & y\text \\

&(x^})^2\cdot x & y\text\end\right.

\]模板題：洛谷p1226

注意使用long long保證資料不溢位

code(c++)

#include using namespace std;
using ll = long long;
int qpow(int b, int p, int k) 
// 求 b^p mod k
int main()

遞迴方法對於快速冪已經足夠，但其缺乏足夠的普適性，無法推廣到更加一般性的問題。

與遞迴方法相比，迭代方法的思想更加貼近倍增方法的本質。利用\(x^y=x^^k c_i2^i}\)，我們可以從\(x^1,x^2,\cdots,x^\)來計算出\(x^y\)，而這些數值本身是可以通過反覆進行平方運算在\(o(k)=o(\log y)\)的時間內求得的。這裡我們需要得到乙個非負整數的二進位制表示（從低位到高位），只需要不斷除以2取餘即可。

模板題：洛谷p1226

注意使用long long保證資料不溢位

code(c++)

using ll = long long;
int qpow(int a, int b, int k) 
// 求 b^p mod k
int main()

將快速冪中的乘法運算替換為加法運算，我們就可以得到快速乘的演算法，也即用\(o(\log n)\)次加法運算來實現乘\(n\)的操作。

快速乘模板**：

// 迭代實現
inline ll ksc(ll x, ll y, ll mod) 
// o(1)快速乘
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lb;
//**壓縮
inline ll ksc(ull x, ull y, ll p)

將快速冪中的底數改為乙個方陣，並將整數乘法改為矩陣乘法，我們就可以得到矩陣快速冪的演算法。

如果把\(f(x)\)看作是求取\(x\)的父節點，那麼\(f^n(x)\)就可以是看成求取\(x\)第\(n\)代的祖先節點。倍增法求lca的關鍵就是用倍增方法來快速求取\(f^n(x)\)。

稀疏表是一種用於rmq（區間最值查詢）的資料結構。稀疏表的構建同樣使用了倍增的思想。

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