RSA 加密演算法原理學習筆記 1

rsa演算法原理（一） - 阮一峰的網路日誌

（1）乙方生成兩把金鑰（公鑰和私鑰）。公鑰是公開的，任何人都可以獲得，私鑰則是保密的。

（2）甲方獲取乙方的公鑰，然後用它對資訊加密。

（3）乙方得到加密後的資訊，用私鑰解密

金鑰越長，它就越難破解。根據已經披露的文獻，目前被破解的最長 rsa 金鑰是 768 個二進位制位。也就是說，長度超過 768 位的金鑰，還無法破解（至少沒人公開宣布）。因此可以認為，1024 位的 rsa 金鑰基本安全，2048 位的金鑰極其安全。

給定乙個正整數，如果兩個整數 a 和 b 滿足 a - b 能夠被 m 整除，即 (a-b)/m 得到乙個整數，那麼就稱整數 a 與 b 對模 m 同餘，記作 \(a \equiv b \pmod m\)。對模 m 同余是整數的乙個等價關係。

1 和任意乙個自然數是都是互質關係，比如 1 和 99。

任意兩個質數構成互質關係，比如 13 和 61。

乙個數是質數，另乙個數只要不是前者的倍數或者小於前者，兩者就構成互質關係，比如 3 和 10、17 和 4。

p 是大於 1 的整數，則 p 和 p-1 構成互質關係，比如 57 和 56。

p 是大於 1 的奇數，則 p 和 p-2 構成互質關係，比如 17 和 15。

n = 1：φ(1) = 1。

n為質數：φ(n) = n-1。因為小於n的數都與n互質。

n為某質數某次方，n = p^k（p為質數，k為大於等於1的整數）：

那麼，$$\phi(n) = \phi(p^k) = p^k - p^$$

n可以分解成兩個互質的整數之積，n = p × q：

\[\phi(n) = \phi(pq) = \phi(p)\phi(q)

\]最終通用推算：

算術基本定理：任意乙個大於 1 的正整數，都可以寫成一系列質數的積：\(n = p^_1p^_2 \ldots p^_r\)（它將把對自然數的研究轉化為對其最基本的元素——質數/素數的研究）。

因此根據第 4 種情況的結論（可拆），得到任意乙個大於 1 的正整數的尤拉函式：\(\phi(n) = \phi(p^_1)\phi(p^_2)\ldots\phi(p^_r)\)；

再根據第 3 種情況的結論（原數是質數多次方），可改寫為：\(\phi(n) = p^_1p^_2...p^_r(1-\frac1p_1)(1-\frac1p_2)\ldots(1-\frac1p_r)\)；

也就是：

\[\phi(n) = n(1-\frac1p_1)(1-\frac1p_2)\ldots(1-\frac1p_r)

\]這便是尤拉函式的通用計算公式。

尤拉函式的應用在於尤拉定理。

尤拉定理：如果兩個正整數 a 和 n 互質，則 n 的尤拉函式φ(n)可以讓下面的等式成立：

\[a^ \equiv 1 \pmod n

\]

4 的尤拉函式結果為 2，滿足 \(5^2 \div 4 = 6 \cdots 1\)。也就是 \((5^2 -1 )\) 可以被 4 整除。

尤拉定理有乙個特殊的情況，假設正整數 a 與質數 p為互質關係，因為φ(p) = p - 1，那麼：

\[a^ \equiv 1 \pmod p

\]這就是費馬小定理，是尤拉定理中乙個數為質數的特例。

如果兩個正整數 a 和 n 互質，那麼一定可以找到整數 b ，使得 ab-1 被 n 整除，或者說 ab 被 n 除的餘數是 1，那麼：

\[ab \equiv 1 \pmod n

\]

比如，4 和 7 互質，利用尤拉定理求：\(φ(4) = φ(2^2) = 2^2 - 2^1 = 2\)，所以 \(7^2 = 1 \pmod 4\)，因為不能再取 b為 7，所以就換另一邊計算。

\(φ(7) = 7 - 1 = 6\)，所以 \(4^6 = 1 \pmod 7\)，得到 \(4 \times 4^5 = 1 \pmod 7\)，可以獲得 45 是 4 的乙個模反元素。

顯然模反元素不止乙個。45加減任意個 7 均是 4 的模反元素，既滿足 b + kn 即可（b 是45，n 是 7）。

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