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下面我以乙個簡單的例子來描述 rsa 演算法。
生成金鑰對，即公鑰和私鑰。
第一步：隨機找兩個質數 p 和 q ,p 與 q 越大，越安全。
比如 p = 67 ，q = 71。計算他們的乘積 n = p * q = 4757 ，轉化為二進為 1001010010101，該加密演算法即為 13 位，實際演算法是 1024 位 或 2048 位，位數越長，演算法越難被破解。
第二步：計算 n 的尤拉函式 φ(n)。
φ(n) 表示在小於等於 n 的正整數之中，與 n 構成互質關係的數的個數。例如：在 1 到 8 之中，與 8 形成互質關係的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
如果 n = p * q，p 與 q 均為質數，則 φ(n) = φ(p * q)= φ(p - 1)φ(q - 1) = (p - 1)(q - 1) 。
本例中 φ(n) = 66 * 70 = 4620，這裡記為 m， m = φ(n) = 4620
第三步：隨機選擇乙個整數 e，條件是1< e < m，且 e 與 m 互質。
公約數只有 1 的兩個整數，叫做互質整數，這裡我們隨機選擇 e = 101
請注意不要選擇 4619，如果選這個，則公鑰和私鑰將變得相同。
第四步：有乙個整數 d，可以使得 e*d 除以 m 的餘數為 1。
即找乙個整數 d，使得 (e * d ) % m = 1。
等價於 e * d - 1 = y * m ( y 為整數）
找到 d ，實質就是對下面二元一次方程求解。
e * x - m * y =1 ，其中 e = 101，m = 4620
101x - 4620y =1
這個方程可以用"擴充套件歐幾里得演算法"求解，此處省略具體過程。 總之算出一組整數解（x，y ）= （ 1601，35），即 d = 1601。
到此金鑰對生成完畢。不同的 e 生成不同的 d，因此可以生成多個金鑰對。
本例中公鑰為 （n，e) = (4757 , 101)，私鑰為 （n，d) = (4757 ，1601) ，僅（n，e) = (4757 , 101) 是公開的，其餘數字均不公開。可以想像如果只有 n 和 e，如何推導出 d，目前只能靠暴力破解，位數越長，暴力破解的時間越長。
加密生成密文 。
比如甲向乙傳送漢字「中」，就要使用乙的公鑰加密漢字 「中」， 以 utf-8 方式編碼為 [e4 b8 ad]，轉為 10 進製為 [228,184,173]。要想使用公鑰（n，e) = (4757 , 101)加密，要求被加密的數字必須小於 n，被加密的數字必須是整數，字串可以取 ascii 值或unicode值，因此將「中」字折為三個位元組 [228,184,173]，分別對三個位元組加密。
假設 a 為明文，b 為密文，則按下列公式計算出 b
a^e % n = b
計算 [228,184,173]的密文：
228^101 % 4757 = 4296
184^101 % 4757 = 2458
173^101 % 4757 = 3263
即 [228,184,173]加密後得到密文 [4296，2458，3263] ，如果沒有私鑰 d ,神仙也無法從 [4296，2458，3263]中恢復 [228,184,173]。
解密生成明文。
乙收到密文 [4296，2458，3263]，並用自己的私鑰（n，d) = (4757 ，1601) 解密。解密公式如下：
假設 a 為明文，b 為密文，則按下列公式計算出 a
a^d % n = b
密文 [4296，2458，3263]的明文如下：
4296^1601% 4757 = 228
2458^1601% 4757 = 184
3263^1601% 4757 = 173
即密文 [4296，2458，3263] 解密後得到 [228,184,173]
將[228,184,173] 再按 utf-8 解碼為漢字 「中」，至此解密完畢。
加密和解密的過程使用了費爾馬小定理的兩種等價的描述。
最後，問題來了，有沒有可能在已知 （n，e) 的情況下，推導出 d。
根據以上金鑰生成過程：
如果想知道 d 需要知道尤拉函式 φ(n)
如果想知道尤拉函式 φ(n) 需要知道 p 和 q
要知道 p 和 q 需要對 n 進行因數分解。
對於本例中的 4757 你可以輕鬆進行因數分解，但對於大整數的因數分解，是一件很困難的事情，目前除了暴力破解，還沒有更好的辦法，如果以目前的計算速度，破解需要50年以上，則這個演算法就是安全的
RSA加密演算法
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