這是乙個\(o(n^2)\)的狀態和轉移方程：
\[f(i,j)=\left\
f(i-1,j-1)+k \ (1\leq j)\\
\max_ (j=1)
\end
\right.\]
這個方程目測是\(\theta(n^2)\)的，但是實際上，上面的那個方程只是把陣列整體位移了，下面的方程只是在位移後的陣列開端添上了乙個數，這個完全可以通過佇列來實現，\(+k\)的操作，用乙個整體的差分量就能實現，時間複雜度\(o(n)\)。這個方法最偉大的一點在於，它的複雜度比狀態維度還要低一維，這是讓人難以想到這種方法的一大原因。
\(n<=5000, m<=1e7\).顯然當兩種顏色的 a 相等的時候，它們完全等價，所以我們建乙個桶 \(b_i\) 表示長度限制為 i 的顏色個數，再設\(f_\)表示 dp 到了 i 號格仔，當前顏色的長度限制是 j (其實是有點 hash 的表示顏色），當前顏色已經連續了 k 個，則狀態轉移方程為：
\[f(i,j,k)=\left\
f(i-1,j,k-1) \ (1\leq k)\\
b_j\sum_} + (b_j-1)\sum_ (j=1)
\end
\right.\]
這個狀態狀態轉移方程上面和下面各是\(\theta(n^3)\)的，但是我們可以發現這個轉移方程，上面的可以用佇列來實現整體位移，下面的可以對每個佇列維護乙個和，再維護一下總和，就能實現\(\theta(n^2)\)了，主要**如下：
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int i = 2; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
for (int j = 1; j <= n; j++) }
}fout << lastsum << endl;
\(n<=2e5,m<=20\).假設 dp 到了前 i 個點，當前的兩個子串行，乙個肯定有乙個以 i 號字串結尾，我們只需要存另乙個子串行以什麼結尾；而子串行的長度都相同，說明我們只關心這個子串行最後乙個串是哪乙個。設\(f[i][j]\)表示，dp 到了前 i 個點，乙個子串行的結尾是 i，另乙個子串行的結尾是 j 時的最短長度。綜合把 i 接到 i-1 上 和把 i 接到 i-1 之前的兩種情況，可以得到狀態轉移方程：
\[f(i,j)=\left\
\min\ \ (j=i-1)\\
f(i-1,k)+\text(i-1,i)(else)
\end
\right.\]
這個狀態轉移方程本身已經很難想到了，需要很熟稔的分類討論的能力。優化上，可以使用棧——上面那東西是整體加法，下面那東西是在棧底追加乙個值。考慮這個 min 怎麼\(\theta(1)\)求：對於 cost 相等的 k ，顯然它們是等價的。所以把已有的字串倒序放進乙個 trie 裡面，查詢時正著順著 \(s_i\) 走，每到乙個點用\(m-dep+f_x\)更新答案，其中\(f\)是樹上字首最小值，這樣會有重複情況，但是顯然不影響。用整體差分就能實現 f 值的修改。
這個是國冬模擬費用流的第二題，居然被搬來了五校聯考。。。
首先使用微擾法，把球和洞畫成兩排，把每個球連向它的洞，顯然這些連線不能相交，這就及其有利於我們進行 dp。把球和洞擺成一排並排序，設\(f[i][i]\)表示，當 \(j>0\)時表示剩下確定選下了 \(-j\)個洞待匹配的最小代價；當 \(j<0\)時表示 dp 到了第 \(i\) 個位置、剩下多少個球還待匹配的、費用提前計算的代價（提前減去絕對值函式的部分呀），那麼當前位置是個球的時候，狀態轉移方程是：
\[f(i,j)=f(i-1,j+1)+\left\
-pos_i \ (j>0)\\
pos_i (else)
\end
\right.\]
當目前位置是個洞的時候，狀態轉移方程就是：
\[f(i,j)=min(f(i-1,j),f(i-1,j-1)+\left\
-pos_i \ (j<0)\\
pos_i (else)
\end)
\right.\]
然後把第二個式子分析一下，發現當且僅當\(j=0\)的時候需要取 min, 其他時候只需要直接取右手邊的作為最小值即可，所以我們把 dp 陣列切成三段，下標是負的一段，0一段，正的一段，就可以實現 \(\theta(n)\)。評測記錄
總結：有的時候轉移的複雜度比較大/狀態的維度比較大的時候，我們不妨退而求其次，通過把狀態公升一維的代價把轉移降低一維，也許就可以通過佇列優化，反而能優化掉一維。
一類巧妙利用利用失配樹的序列DP
求長度為 text 的包含給定連續子串 text 的 0 1 串的個數。t 15 通常來說這種題目應該立刻聯想到狀壓 dp 與取反集 這樣就不用考慮大量重複情況的容斥問題。設 f 表示前 i 個字元 最後 t 個字元為 s 不包含給定連續子串的情況數，狀態轉移方程簡單不述。時間複雜度 theta 2...
一類巧妙利用利用分治的序列求值
這個方法經常用於這類問題 給定序列 a 並定義基於序列 a 的函式 f l,r 求 sum limits f l,r 這個方法的核心做用是 將不滿足可減性的求值，變成只需要可以區間拼合 即滿足區間可加性 的求值式子。拆成每個點的貢獻處理。從左到右推進端點 r 開乙個資料結構維護對於當前每個 l 的函...
一類斜率優化的dp（特有性質 只能連續，不能交叉）
hdu3480 給定乙個有n個數的集合，將這個集合分成m個子集，要求子集的並等於全集 求花費最小。花費為該子集的 最大數 最小數 的平方。我們將n個數排序，a b c d 那麼不可能a,c乙個集合，b,c乙個集合 明顯a,b乙個集合，c,d乙個集合更優 也就是說某乙個數只能和它前面的連續幾個數合起來...