擴充套件KMP演算法小記

參考來自《拓展kmp演算法總結》：

擴充套件kmp解決的問題：

定義母串s和子串t，s的長度為n，t的長度為m；

求字串t 與字串s的每乙個字尾的最長公共字首；

也就是說，設有extend陣列：extend[i]表示t與s[i,n-1]的最長公共字首，要求出所有extend[i](0<=i（注意到，如果存在若干個extend[i]=m，則表示t在s中完全出現，且是在位置i出現，這就是標準的kmp問題，所以一般將它稱為擴充套件kmp演算法。）

下面舉乙個例子，s=」aaaabaa」,t=」aaaaa」；

首先，計算extend[0]時，需要進行5次匹配，直到發生失配：

從而得知extend[0]=4；

下面計算extend[1]，在計算extend[1]時，是否還需要像計算extend[0]時從頭開始匹配呢？

答案是否定的，因為通過計算extend[0]=4，從而可以得出s[0,3]=t[0,3]，進一步可以得到 s[1,3]=t[1,3]；

計算extend[1]時，事實上是從s[1]開始匹配；

設有輔助陣列next[i]表示t[i,m-1]和t的最長公共字首長度，

在這個例子中，next[1]=4，即t[0,3] = t[1,4]，進一步得到t[1,3]=t[0,2]，所以s[1,3]=t[0,2]，所以在計算extend[1]時，通過extend[0]的計算，已經知道s[1,3]=t[0,2]；

所以前面3個字元已經不需要匹配，直接匹配s[4]和t[3]即可，這時一次就發生失配，所以extend[1]=3.

1. 拓展kmp演算法一般步驟

通過上面的例子，事實上已經體現了拓展kmp演算法的思想，下面來描述拓展kmp演算法的一般步驟。

首先我們從左到右依次計算extend陣列，在某一時刻，設extend[0...k]已經計算完畢，並且之前匹配過程中所達到的最遠位置為p，所謂最遠位置，嚴格來說就是i+extend[i]-1的最大值（0<=i<=k）；

設取到這個最大值的位置為po，如在上面的例子中，計算extend[1]時，p=3，po=0.

現在要計算extend[k+1]，根據extend陣列的定義，可以推斷出s[po,p]=t[0,p-po]，從而得到 s[k+1,p]=t[k-po+1,p-po],令len=next[k-po+1]（next[i]表示t[i,m-1]和t的最長公共字首長度）；

分以下兩種情況討論：

第一種情況：k+len如下圖所示：

上圖中，s[k+1,k+len]=t[0,len-1]，

然後s[k+len+1]一定不等於t[len]，因為如果它們相等，則有s[k+1,k+len+1]=t[k+po+1,k+po+len+1]=t[0,len]，那麼next[k+po+1]=len+1，這和next陣列的定義不符；

所以在這種情況下，不用進行任何匹配，就知道extend[k+1] = len.

乙個例子的模擬：

第二種情況： k+len>=p

如下圖：

上圖中，s[p+1]之後的字元都是未知的，也就是還未進行過匹配的字串，所以在這種情況下，就要從s[p+1]和t[p-k+1]開始一一匹配，直到發生失配為止，當匹配完成後，如果得到的extend[k+1]+(k+1)大於p則要更新未知p和po.

另乙個例子的模擬：

至此，拓展kmp演算法的過程已經描述完成，細心地讀者可能會發現，next陣列是如何計算還沒有進行說明；

事實上，計算next陣列的過程和計算extend[i]的過程完全一樣，將它看成是以t為母串，t為子串的特殊的拓展kmp演算法匹配就可以了；

計算過程中的所需要的next陣列值全是已經計算過的，所以按照上述介紹的演算法計算next陣列不會出現問題，不再贅述。

**模板：

const
int max=100010; //
字串長度最大值
intnext[max],extend[max];
//預處理計算next陣列
void getnext(char
str)
}}//
計算extend陣列
void exkmp(char s1,char
s2)    }
}