雅禮集訓 2017 Day7 事情的相似度

\(\text:\)處理了一下排版問題，以及新增 \(\rm lct\) 做法。

如果沒有原題測試，還不知道這道題還要被咕多久......本來就已經咕了乙個寒假了......

傳送門 to loj

最長公共字尾，很難不讓人想到 \(\tt sam\) 的 \(\text\)，因為在 \(\text\) 上有：兩個串的最長公共字尾，即為他們所代表的點在樹上的 \(lca\) 對應的 \(\tt maxlen\).

有了這個東西怎麼做？我們考慮如果我們在樹上有一對終點對\(\lang x, y\rang(x，他們在樹上代表的點的 \(lca\) 是 \(u\)，那麼我們就已知 \(lcs(x,y)=\tt len[u]\)，同時考察這一對終點對於哪些詢問會產生貢獻：類似二維偏序，對於詢問 \(\lang l, r\rang\)，只要滿足 \(l\le x,y\le r\) 便可以考慮一下這一對終點是否是最優解。

那麼我們有一種暴力做法：暴力維護每個的 \(\tt endpos\)，然後將 \(\tt endpos\) 集合中的每對終點都記錄一下，這樣最多會有 \(\mathcal o(n^2)\) 級別的點對，但是考慮一下二維偏序的過程，編號相鄰的終點對才是能夠被最多的集合包含的點對，所以對於不相鄰的點對，我們實際上沒有必要去儲存他們。

而維護 \(\tt endpos\) 集合，我們考慮使用啟發式合併，處理詢問用掃瞄線加上樹狀陣列，最後複雜度 \(\mathcal o(n\log^2 n)\).

事實上也可以暴力維護。在 luogu 上有大佬給出這種題型的一般處理方法：

此處，我們也可以採用此類方法，依次掃瞄每個右端點，對於乙個確定的 \(r\)，乙個詢問 \([l,r]\) 事實上就是找所有 \(l\ge l\) 的最大的 \(lcs(s[1:l],s[1:r])\)，但是有幾個問題：

不難發現詢問就是字尾最大值，我們可以使用 \(\rm bit\) 進行維護，但是難點在於處理每個 \(\rm lcs\).

都涉及 \(\rm lcs\) 了，很顯然需要用到 \(\rm sam\)，在 \(\rm sam\) 的樹上，兩個字首的 \(\rm lcs\) 就是他們所在點的 \(\rm lca\) 的 \(\rm len\)，並且，我們可以採用這道題的做法，將每個左端點到根都染上顏色，處理右端點的時候，看從它對應點到根的路徑上，遇到了哪些左端點，遇到了就在 \(\rm bit\) 上進行更新。在染色的時候，顯然編號越大的左端點比編號小的更優（更容易滿足 \(i\ge l\) 的條件），所以可以直接進行顏色覆蓋。

至於染色和爬樹的過程，就和 \(\rm lct\) 的 \(\rm access\) 函式特別相似，我們考慮採用 \(\rm lct\) 進行維護。

時間複雜度 \(\mathcal o(n\log^2 n)\)，和啟發式合併一樣呢（但是**難實現很多）（其實也不是特別難實現）。

#include#include#include#includeusing namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int maxm=100000+10;
const int sigma=2;
int trie[maxn<<1][sigma];
int fa[maxn<<1];
int len[maxn<<1];
setendpos[maxn<<1];
int lst=1, ncnt=1;
inline void add(const int pos, const int c)
if(++nxt!=endpos[u].end())
endpos[u].erase(*it);
}		for(it=endpos[v].begin(); it!=endpos[v].end(); ++it)
endpos[u].insert(*it);	}}
int c[maxn+5];
#define lowbit(i) (i&(-i))
inline void modify(int i, const int x)
inline int query(int i)
signed main()
sort(q+1, q+m+1);
for(int i=1, j=1; i<=m; ++i)
for(int i=1; i<=m; ++i) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}

const int maxn=2e5;

const int sigma=2;

int n, m;

int a[maxn+5], pos[maxn+5];

vectorq[maxn+5];

int ans[maxn+5];

namespace sam\) 的結論：

兩個串的最長公共字尾，即為他們所代表的點在樹上的 \(lca\) 對應的 \(\tt maxlen\).

而後就是，我們除了從詢問考慮有哪些情況符合條件以外，我們還可以反著進行考慮 —— 一種情況會對哪些詢問產生可能的貢獻，在這道題中，我們使用這種思路發現了二維偏序的關係，進而引導我們對演算法進行優化。

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