已知$f(x)$，求$g(x)$令$f(x)\times g(x)\equiv 1 ( \text x^n )$
假設當前求出了$g_0$：
$f\times g_0\equiv 1\ (\text\ \ x^\rceil})$
並且我們有：
$f\times g\equiv 1\ (\text\ \ x^\rceil})$
相減得：$g-g_0\equiv 0\ (\text\ \ x^n)$
$g_0^2-2gg_0+g^2\equiv 0\ (\text\ \ x^n)$
兩邊同乘$f$，因為$f(x)\times g(x)\equiv 1 ( \text x^n )$，所以：
$fg_0^2-2g_0+g\equiv 0\ (\text\ \ x^n)$
$g=2g_0-fg_0^2\equiv 0\ (\text\ \ x^n)$
$g\equiv g_0\times(2-fg_0)(\text\ \ x^n)$
遞迴即可。
已知$f(x)$，求$g(x)$令$g(x)\equiv \ln f(x) (\text x^n)$
我們令$f(x)=ln(x)$，則原式可以化作：
$g(x)\equiv f(f(x))\ (\text\ \ x^n)$
兩邊同時求導：
$g'(x)=f'(f(x))f'(x)\ (\text\ \ x^n)$
$ln$的求導公式：$ln'(x)=$，所以將原式化為
$g'(x)=\ (\text\ \ x^n)$
將$f'(x)$與$f(x)$的逆元相乘得到$g'(x)$，對結果求積分，就是$g$了。
懶得整理了……掛個部落格。
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