學多項式也有好久了，可是我自己還沒怎麼認認真真推過柿子，導致啥都不會，然後被吊打。
看來再不回顧一下就不行了啊。
寫了乙個好看一點的 ntt 板子，僅供參考。
inline int add(int x, int y)
inline int sub(int x, int y)
inline int mul(int x, int y)
int fastpow(int x, int y)
int r[maxn], w[maxn];
void fft(int *p, int n)
}templatevoid polymul(int *a, int *b, int n, int p, c cal)
\[f(x) = \sum_^n \frac (x_0)} (x - x_0) ^ i + \xi
\]其中 \(\xi\) 是餘項，當 \(n\) 趨近於無窮大時，\(\xi\) 趨近於高階無窮小。
比如說 \(e ^ x = 1 + \frac x + \frac + \cdots\)
首先可以知道多項式的任何乙個運算都可以表示成對於乙個多項式 \(b(x)\) 以及乙個給定的函式 \(f(x)\)，求 \(f(b(x)) \equiv 0 \pmod \)
設 \(b_n(x)\) 表示當模數是 \(x ^ n\) 的合法解。那麼當 \(n = 1\) 是我們很容易可以得到結果，考慮如何用 \(b_n(x)\) 推到 \(b_(x)\)。
對 \(f(b_(x))\) 在 \(b_n(x)\) 處泰勒展開，我們得到\(f(b_(x)) = f(b_n(x)) + f'(b_n(x))(b_(x) - b_n(x))\)。
那麼我們化簡一下就是：
\[b_(x) = b_n(x) - \frac
\]這樣我們就可以倍增求解。
接下來均假設我們要做運算的多項式是 \(a(x)\)。
多項式求逆
並不需要牛頓迭代。
\[\begin
ab_n &\equiv 1 \pmod \\
(ab_n - 1)^2 &\equiv 0 \pmod }\\
a(2b_n - ab_n^2) &\equiv 1 \pmod }
\end
\]由此可得：\(b_ = b_n(2 - ab_n)\)，這種初等推導可以應用到更加廣泛的運算中（如係數是矩陣）。
void inv(int *a, int *b, int n)
); std::fill(b + n, b + l, 0);
}
也不需要牛頓迭代。
\[\begin
b_n &\equiv \sqrt a \pmod \\
(b_n - \sqrt a)^2 &\equiv 0 \pmod }\\
b_n^2 - 2b_n \sqrt a + a &\equiv 0 \pmod }\\
\frac 12 \left(b_n - \frac a\right) &\equiv \sqrt a \pmod }
\end
\]也就是說，\(b_ = \frac 12 \left(b_n - \frac a\right)\)。可以看出多項式開根中需要套用多項式求逆。
void sqrt(int *a, int *b, int n)
\[\begin
\ln a &= b \\
\rightarrow\frac &= b'
\end
\]然後就將 \(a\) 求導求逆，乘起來再積分一下就可以了。
void ln(int *f, int *g, int n)
推下式子可得：
\[\begin
b_(x) &= b_n(x) - \frac } \\
&= b_n(x)(1 - \ln(b_n(x)) + a(x))
\end
\]
void exp(int *a, int *b, int n)
假設 \(f\) 是乙個 \(n\) 次多項式，定義運算 \(r\) 使得 \(f^r(x) = x ^ nf(\frac 1x)\)，也就是說將 \(f\) 的係數翻轉。
那麼可以得到：
\[\begin
a(x) &= q(x)b(x) + r(x) \\
a\left(\frac 1x\right) &= q\left(\frac 1x\right)b\left(\frac 1x\right) + r\left(\frac 1x\right) \\
x ^ na\left(\frac 1x\right) &= \left(x ^ m b\left(\frac 1x\right)\right) \left( x ^ q\left(\frac 1x\right)\right) + x ^ n r\left(\frac 1x\right) \\
a^r(x) &= q^r(x)b^r(x) + x^r^r(x) \\
a^r(x) &\equiv q^r(x)b^r(x) \pmod} \\
q^r(x) &\equiv \frac \pmod}
\end
\]那麼這樣就可以用多項式求逆求出 \(q\)，再用 \(r(x) = a(x) - q(x)b(x)\) 即可求出 \(r\)，於是就完成了多項式除法和多項式取模。
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