求一棵隨機生成的 \(n\) 個結點的有根二叉樹期望的葉子節點數。
白嫖一道黑。
完全照搬rqy大爺的題解。
對於一棵\(n\)個節點的二叉樹，每乙個節點可以往下連兩條邊，所以總共可以往下連\(2n\)條邊；而這棵二叉樹已經有\(n-1\)條邊了，在\(2n-(n-1)=n+1\)條邊中選擇一條邊連出去都可以形成一棵\(n+1\)個節點的二叉樹，且連出去這條邊所連線的節點為葉節點，所以一棵有\(n+1\)個節點的二叉樹的葉節點個數為\(n\)個節點的二叉樹個數\(\times n\)。
而我們知道，大小為\(n\)的二叉樹的個數就是卡特蘭數的第\(n\)項。所以\(n\)個節點的二叉樹的葉子結點數為
\[(n-1)\times \frac_}
\]所以一棵\(n\)個節點的葉子期望個數為
\[\frac_}}}=\frac
\]
#include using namespace std;
long long a;
int main()
\[\color}
\]
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