給定乙個正整數 m 。兩個整數 a，b 叫做模m同餘，如果 a - b 被 m 整除，或 m | a - b，記作a ≡ b（mod m）。否則叫做模 m 不同餘，記作 a ≠ b（mod m）(此處為三橫)。
設 m 是乙個正整數，設 a，b 是兩個整數，則 a ≡ b（mod m）的充要條件是存在乙個整數q使得 a = b + q · m。
設 m 是乙個正整數，則模 m 同余是等價關係，即
（自反性）對任一整數a，有a ≡ a（mod m）；
（對稱性）若a ≡ b（mod m），則b ≡ a（mod m）；
（傳遞性）若a ≡ b（mod m），b ≡ c（mod m），則a ≡ c（mod m）。
設m是乙個正整數，則整數a，b模m同餘的充分必要條件是a，b被m除的餘數相同。
設m是乙個正整數，設a1，a2，b1，b2是4個整數。如果a1 ≡ b1（mod m），a2 ≡ b2（mod m），則
a1 + a2 ≡ b1 + b2（mod m）；
a1 · a2 ≡ b1 · b2（mod m）。
若x ≡ y（mod m），ai ≡ bi（mod m），0 ≤ i ≤ k，則a0 + a1x + ··· + akxk ≡ b0 + b1y + ··· + bkyk（mod m）。
設整數n有十進位制表示式n = ak10k + ak-110k-1 + ··· + a110 + a0，0 ≤ ai＜10.則
設整數n有一千進製表示式：n = ak1000k + ··· + a11000 + a0，0 ≤ ai ≤ 1000。
則7（或11，或13）整除n的充分必要條件是7（或11，或13）能整除整數（a0 + a2 + ··· ）-（a1 + a3 + ···）。
設m是乙個正整數，設d · a ≡ d · b（mod m）。如果（d，m）= 1，則a ≡ b（mod m）。
設m是乙個正整數，設a ≡ b（mod m），d ＞0，則d · a ≡ d · b（mod m）。
設m是乙個正整數，是a ≡ b（mod m）。如果整數d | （a，b，m），則a/d ≡ b/d（mod m/d）。
設m是乙個正整數，設a ≡ b（mod m）。如果d | m，則a ≡ b（mod d）。
設m1，···，mk是k個正整數，設a ≡ b（mod mi），i = 1，···，k，則a ≡ b（mod [m1，···，mk]）。
設a ≡ b（mod m），則（a，m）= （b，m）。
設m是乙個正整數，則m個整數r0，r1，···，rm-1為膜m的乙個完全剩餘系的充分必要條件是它們模m兩兩不同餘。
設m是正整數，a是滿足（a，m）= 1 的整數，b是任意整數。若k遍歷模m的乙個完全剩餘系，則a · k + b也遍歷模m的乙個完全剩餘系。
設m1，m2是兩個互素的正整數。若k1，k2分別遍歷模m1，m2的完全剩餘系，則m2 · k1 + m1 · k2遍歷模m1 · m2的完全剩餘系。
設m1，m2，···，mk是k個互素的正整數。若x1，x2，···，xk分別遍歷模m1，m2，···，mk的完全剩餘系，則m2 ··· mk · x1 + m1 · m3 ··· mk · x2 + ··· + m1 ··· mk-1 · xk遍歷模m1m2 ··· mk的完全剩餘系。
設m是乙個正整數，則m個整數1，···，m-1，m中與m互素的整數的個數，記作φ(m)，通常叫做尤拉(euler)函式。
乙個模m的剩餘類叫做簡化剩餘類，如果該類中存在乙個與m互素的剩餘，這時，簡化剩餘類中的剩餘叫做簡化剩餘。
注：簡化剩餘類的這個定義與剩餘的選取無關；
兩個簡化剩餘的乘積仍是簡化剩餘。
設r1，r2是同一模m剩餘類的兩個剩餘，則r1與m互素的充分必要條件是r2與m互素。
設m ＞ 1是整數，a，b是模m的兩個簡化剩餘，則它們的乘積也是簡化剩餘。
設m是乙個正整數，若r1，···，rψ(m)是ψ(m)個與m互素的整數，並且兩兩模m不同餘，則r1，···，rψ(m)是模m的乙個簡化剩餘系。
設m是乙個正整數，a是滿足（a，m）= 1的整數。如果k遍歷模m的乙個簡化剩餘系，則a · k也遍歷模m的乙個簡化剩餘系。
設m是乙個正整數，a是滿足（a，m）= 1的整數，則存在唯一的整數a'，1 ≤ a' ＜ m，使得a · a' ≡ 1（mod m）。
定理3.6：
設m1，m2是互素的兩個正整數。如果k1，k2分別遍歷模m1和m2的簡化剩餘系，則m2 · k1 + m1 · k2遍歷模m1 · m2的簡化剩餘系。
設m，n是互素的兩個正整數，則ψ(m · n) = ψ(m) · ψ(n)。
設p，q是不同的素數，則ψ(p · q) = p · q - p - q + 1.
設m是大於1的整數。如果a是滿足（a，m） = 1的整數，則aψ(m) ≡ 1（mod m）。
設p是乙個素數，則對任一整數a，有ap ≡ a（mod p）。
設p是乙個素數，則對任意整數a，以及對任意正整數t，k，有at+k(p-1) ≡ at（mod p）。
設p是乙個素數，則（p - 1）!≡ -1（mod p）。
2 同餘運算
同餘 同餘方程 特性1 同餘 如果a和b除以m的餘數相同，就說a和b關於模m同餘，記作a b mod m a b mod m 等價於m整除 a b，即 m a b 也即a m t b。2 同餘方程 例如ax y mod m 就稱為同餘方程。基於同餘的定義，ax mt y ax mt y 就轉換成了二...
資訊保安數學基礎（一） 同餘
給定乙個正整數m,如果a b被m整除 即m a b 則稱兩個整數a,b模m同餘，否則叫做a,b模m不同餘。同餘的判斷 設m是乙個正整數，a,b是兩個整數，則 a b mod m 的充要條件是存在乙個整數q使得 a b q m 其實也就是m a b 設m是乙個正整數，則模m同余是等價關係，即滿足 自反...
歷屆試題 小數第n位 （同餘公式 快速冪）
問題描述 我們知道，整數做除法時，有時得到有限小數，有時得到無限迴圈小數。如果我們把有限小數的末尾加上無限多個0，它們就有了統一的形式。本題的任務是 在上面的約定下，求整數除法小數點後的第n位開始的3位數。輸入格式 一行三個整數 a b n，用空格分開。a是被除數，b是除數，n是所求的小數後位置 0...