日常訓練 yayamao的神題

\(yayamao\)是數學神犇，一天他在紙上計算起了\(1/p\), 我們知道按照模擬除法可以得到準確解，例如\(1/7=0.(142857),1/10=0.1(0)\)。\(yayamao\)發現無論他如何模擬小數都會出現迴圈，現在\(yayamao\)想知道迴圈的長度以及迴圈出現之前，小數點後面的未迴圈的數字的位數。例如\(1/15=0.0(6)\),那麼它的迴圈長度為\(1\)，小數點後面的未迴圈的數字的位數為\(1\);\(1/4=0.25(0)\)，那麼它的迴圈長度為\(1\)，小數點後面的未迴圈的數字的位數為\(2\)。

資料的第一行是乙個整數\(t\), 表示資料組數。

接下來\(t\)組資料，每組資料的第一行是乙個正整數\(p\)。

對於每組資料輸出\(2\)個整數\(a,b\), 分別表示迴圈長度以及小數點後面的未迴圈的數字的位數。

312

4

1 0

1 11 2

\(1\;\leq\;t\;\leq\;10000,1\;\leq\;p\;\leq\;2\;\times\;10^9\).

小學奧數中,乙個分數如果是純迴圈小數,則它的分母是\(k=999...9\)的因數(\(k\)為最小的這種形式的原分母的倍數),迴圈節為\(k\)的位數;

若是混迴圈小數,則它的分母是\(k=999...9000...0\)的因數(\(k\)為最小的這種形式的原分母的倍數),迴圈節為\(k\)中\(9\)的個數,小數點後不迴圈部分的位數為\(k\)中\(0\)的個數.

由此可見,設\(p=2^5^p'((p',10)=1)\),則迴圈部分的位數為\(max(a_1,a_2)\).

現在求迴圈節長度.

設\(a_i\)表示\(p'\)小數點後\(i\)位上的數,\(b_i\)表示處理第\(i-1\)位後的餘數.

顯然,\(b_1=1,a_1=\lfloor10\;\times\;\frac\rfloor\),

\(b_i=10\;\times\;b_\;mod\;p',a_i=\lfloor10\;\times\;\frac\rfloor\).

當找到最小的\(p,q(p滿足\(b_p=b_q\)時,答案為\(q-p\).

因為\((p',10)=1\),所以\((p',b_i)=1\).

設\(10x\;\equiv\;1(mod\;p')\),若\(p\not=1\),則\(b_=x\;\times\;b_p\;mod\;p'=x\;\times\;b_q\;mod\;p'=b_\).

出現了更早的重複\(b_=b_\),所以最早的重複在\(p=1\),所以\(\frac\)為純迴圈小數.

設\(y\)為最小的滿足\(b_y=b_1\;\times\;10^\;mod\;p'=b_1\)的正整數,則\(10^\;\equiv\;1(mod\;p')\).

問題轉化成了求\(10\)模\(p'\)的階.

因為\((10,p')=1\),所以\(10^\;\equiv\;1(mod\;p')\).

列舉\(\phi(p')\)的質因數找最小質因數解即可.

#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#define n 45000
using namespace std;
typedef long long ll;
ll m[n];
int f[n],p[n],k,n,x,t,cnt,tot;
bool b[n];
inline void prime()
inline void aireen()
while(!(k%5))
x=phi(k);
for(int i=1;im[i]=m[i-1]*10ll%(ll)(k);
for(int i=sqrt(x);i;--i)
if(!(x%i))
printf("%d %d\n",x,max(cnt,tot));
}}int main()

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