最大連續區間和的演算法總結

最大連續區間和是乙個經典的問題。給定乙個長度為n的序列a[1],a[2]...a[n-1],a[n]，求乙個連續的子串行a[i],a[i+1]...a[j-1],a[j]，使得a[i]+a[i+1]...a[j-1]+a[j]最大。

①最簡單最容易想到的就是根據定義來列舉。

列舉上下界，維護乙個max值即可。

其中列舉上下界的時間複雜度為o(n^2)，求區間和的複雜度為o(n)，所以總時間複雜度為o(n^3)。

( i = 1 ; i <= n ; i++ )

( j = i ; j <= n ; j++ )

ans = max(ans,accumulate(a+i,a+j+1,0));

②其實就是第一種方法的優化。

這裡有個很容易想到的優化，即預處理出字首和sum[i]=a[0]+a[1]+...+a[i-1]+a[i]，算區間和的時候即可將求區間和的複雜度降到o(1)，列舉上下界的複雜度不變，所以總時間複雜度為o(n^2)。

( i = 1 ; i <= n ; i++ )

sum[i]=sum[i-1]+a[i];

( i = 1 ; i <= n ; i++ )

( j = i ; j <= n ; j++ )

ans = max(ans,sum[j]-sum[i-1]);

③可以利用動態規劃的思維來繼續優化，得到乙個線性的演算法，也是最大連續區間和的標準演算法

定義maxn[i]為以i為結尾的最大連續和，則很容易找到遞推關係：maxn[i]=max+a[i]。

所以只需要掃瞄一遍即可，總時間複雜度為o(n)。

( i = 1 ; i <= n ; i++ )

④同樣用到類似的思維。

首先也需要預處理出字首和sum[i]，可以推出ans=max | 0<=j( i = 1 ; i <= n ; i++ )

sum[i]=sum[i-1]+a[i];

( i = 1 ; i <= n ; i++ )

總結：雖然樸素的o(n^3)和字首和優化的o(n^2)演算法很容易想到，但**實現卻反而比方法三麻煩，第四個方法雖然有和方法三相同的複雜度，但需要乙個預處理和多出的o(n)的空間，所以，方法三很好很強大。