題目描述
給定乙個序列 \(a\)，保證 \(a_i\) 互不相同。你需要重新排列 \(a\)，使得 \(a\) 中任意兩個相鄰位置都包含乙個奇數和偶數。對於每個數，它的代價是\(|\)初始位置減重排後的位置\(|\) 。請輸出保證總代價最小的前提下，字典序最小的 \(a\)
\(1\leq n\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^9\)
題目描述
定義 \(f(n)\) 表示將 \(n\) 劃分為若干 \(m\) 的非負整數次冪的和的方案數。定義 \(g(n)\) 表示 \(k\) 個 \(f(n)\) 的卷積。給定 \(n,m,k\)，求出 \(\sum_^n g(i)\) 對 \(1e9+7\) 取模後的結果。
\(0\leq n\leq 10^,2\leq m\leq 10^,1\leq k\leq20\)
解法
\(k=1\) 的情況，此時 \(f_m\) 可以使用組合意義生成函式卷積：
\[f(n)=[x^n]\sum_^\infty\frac}
\]有乙個小 \(\tt trick\)，因為要求係數和，所以可以把原來的多項式再乘以 \(\frac\) 就可以直接求 \([x^n]\)
然後問題變成了求第 \(n\) 項的係數，假如我們加入 \(m^i\) 的物品，那麼起作用的只有 \(i=n\mod m^i\) 這些位置的值。所以不難設計出狀態，設 \(f(i,j)\) 表示加入了 \(i\) 件物品，容量是 \(jm^i+(n\% m^i)\) 的方案數（有一點點不嚴謹但是沒關係），轉移不難寫出：
\[f(i,j)=\sum_^j f(i-1,xm+bit(n,i-1))
\]其中 \(bit(n,i-1)\) 表示 \(n\) 在第 \(i-1\) 為上的值，因為 \(jm^i+(n\%m^i)\) 可以從 \(xm^i+(n\%m^i)\) 轉移而來，也就是 \(xm\cdot m^+(n\% m^)+bit(n,i-1)\)
這個東西第二維很大，又是那個神奇的套路！我們假設 \(f(i,j)\) 是 \(j\) 的 \(i\) 次多項式，然後歸納證明這個結論。原因就蘊含在轉移中，\(f(i-1,xm+bit(n,i-1))\) 是乙個關於 \(xm+bit(n,i-1)\) 的多項式，也就是關於 \(x\) 的 \(i-1\) 次多項式。那麼我們把這些多項式求了乙個字首和，所以是乙個 \(i\) 次多項式。
所以用 \(o(i^3)\) 求出 \(o(i)\) 個點值就可以 \(o(i^2)\) 插值求出這個多項式，因為第一維超級小所以複雜度是對的。
那麼如果 \(k>1\) 呢？那麼我們把 \(m^i\) 的物品做若干次就行了，轉移有點小修改，但是大體思路是一樣的，時間複雜度 \(o(k^3\log^3_mn)\)
題目描述
定義乙個括號序列是合法的，當且僅當它的任意乙個字首滿足(的數量不小於)的數量，且整個序列中左括號和右括號的數量相等。（不要以為這句話沒有用哦，其實它是乙個提示）
定義乙個括號序列是好的，當且僅當存在兩個並為整個序列的子串行，使得每個子串行都是合法的括號序列。現在給你乙個長為 \(n\) 的括號序列，有 \(m\) 次詢問，每次詢問給定乙個區間 \([l,r]\)，你需要求出有多少個子區間是好的括號序列。
\(n,m\leq3e5,1\leq l\leq r\leq n\)
解法
我竟然都能把結論猜出來，但是結論後面的維護也超難的好伐。
結論：乙個好的括號序列等價於，把左括號看做 \(2\) 右括號看做 \(-1\)，要求每個字首都 \(\geq 0\)；把右括號看做 \(2\) 左括號看做 \(-1\)，要求每個字尾都 \(\geq0\)
考慮證明，必要性顯然。充分性可以構造方案證明。具體來說，我們考慮先構造出乙個滿足（的位置為2或1，）的位置為-2或-1的序列，使得它們和為0，且任意字首和。這個可以考慮將（當成2，）當成-1得到的序列，每次將最後乙個還沒減小過的括號-1，直到序列總和為0，顯然這樣是可以達到的，並且任意時刻仍然滿足字首和和字尾和的限制。得到這個序列以後，可以將2和-2當成兩個子串行的公共部分，奇數個的1和奇數個的-1分配給第乙個序列，偶數個的1和偶數個的-1分配給第二個序列，這樣兩個序列字首和的差的絕對值任意時刻不會》1，又知道他們總和，因此顯然是合法的方案。考場上我寫的是暴力判斷每個區間是否是好的，然後二維數點，時間複雜度 \(o(n^2\log n)\)
這時候要仔細觀察限制，字首\(\geq0\)和字尾\(\geq0\) 其實是兩個相對獨立的限制條件。現在的思路就是解決這兩個限制。
考慮字尾 \(\geq0\) 這個限制條件，固定乙個點，那麼它延伸到的範圍是固定的，而且延伸到的地方合法未延伸到的地方不合法，這就是乙個很好的性質了，可以預處理 \(b[i]\) 表示 \(i\) 最多向左延伸多少，這個就相當於找字首和陣列第乙個比它大的數，直接用單調棧做就可以了。
字首 \(\geq0\) 這個限制可以通過離線解決。我們讓右端點從左往右掃，考慮到答案是統計 \([l,r]\) 的子區間，有乙個騷操作：我們把貢獻記在左端點上，可以用線段樹去維護左端點的貢獻。
具體講一講怎麼離線，遇到左括號時，它是可以作為左端點的，那我們就啟用這個點。遇到右括號時，求 \([1,i]\) 的區間最小值，要刪去不合法的左端點。右括號可以作為右端點，所以我們把 \([b[i],i]\) 中的啟用左端點貢獻\(+1\)，詢問就直接區間查詢。
線段樹都是一些常規操作，具體要維護什麼可以掃一眼我的**。時間複雜度 \(o(n\log n)\)
#include #include #include #include using namespace std;
const int m = 300005;
const int inf = 1e9;
#define ll long long
#define pii pairint read()
int n,m,top,a[m],b[m],p[m];char s[m];
int mi[4*m],fl[4*m],pos[4*m],pd[4*m];ll sum[4*m],tag[4*m],ans[m];
struct node
pii get(int i,int l,int r,int l,int r)//求出最小值
void upd(int i,int l,int r,int l,int r,int f)//區間加
int mid=(l+r)>>1;down(i);
upd(i<<1,l,mid,l,r,f);
upd(i<<1|1,mid+1,r,l,r,f);
up(i);
}void add(int i,int l,int r,int l,int r)//區間更新答案
int mid=(l+r)>>1;down(i);
add(i<<1,l,mid,l,r);
add(i<<1|1,mid+1,r,l,r);
up(i);
}ll ask(int i,int l,int r,int l,int r)//區間問答案
int main()
for(int i=1;i<=m;i++)
sort(q+1,q+1+m);
for(int i=0;i<=4*n;i++) mi[i]=inf;
for(int i=1,j=1;i<=n;i++)
if(s[i]==')')
add(1,1,n,b[i],i);//加答案
} while(j<=m && q[j].r<=i)
}for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);}/*
字首：( 2 ; ) -1 >=0
字尾：) 2 ; ( -1 >=0
*/
noip 模擬賽 正睿oi（一） 給
給 ca.pas c cpp 背景描述 對於任意1 k n，求有多少個左右區分的恰有k個葉子節點的二叉樹，滿足對於每個節點要麼沒有葉子節點要麼有兩個節點，同時不存在乙個葉子節點，使得根到它的路徑上有不少於m條向左的邊。你只需要求出答案對998244353取模的結果。輸入格式 輸入共一行，兩個正整數m...
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