今天終於講了久仰其大名的網路流。
網路流是乙個有向圖.
容量：每條邊都有乙個容量(水管的最大水流容量)
源點：出發點(水廠)。
匯點：結束點(廢水站)。
流：乙個合法解稱作乙個流，也就是一條可以從源點到匯點的一條合法路徑。
流量：每條邊各自被經過的次數稱作其流量，最終收集的總數為整個流的流量。
三個性質：
1.容量限制：流量小於等於容量,即f(u,v)<=c(u,v)
2.流量守恆：除了源點和匯點，每個點的總流入量等於總流出量【即無法儲存量】
3.斜對稱性：f(u,v)= - f(u,v)
最大流:從源點能最多發出多少流量到匯點且不會超過每條邊的容量
三種網路：
1.容量網路：就是容量組成的網路。
2.流量網路：實際流量組成的網路。
3.殘留網路：每條邊的容量減去流量得出的網路，如果是0，則視為斷開。
另外，殘量網路中還包含原圖中所有邊的反向邊，容量等同於正向邊在流量網路中當前流量，用於「反悔」時將流送回起點。
割乙個對於點集v的劃分，將v劃分為兩個集合s與t，其中源點s在s中，匯點 t在t中。
對於乙個流f而言：
割(s,t)間的網路流量定義為：∑u⊆
s∑v⊆
t\sum_\sum_
∑u⊆s∑
v⊆t
f (u
,v
)f(u,v)
f(u,v)
-∑ u⊆
s∑v⊆
t\sum_\sum_
∑u⊆s∑
v⊆t
f (v
,u
)f(v,u)
f(v,u)
割(s,t)的容量定義為∑u⊆
s∑v⊆
t\sum_\sum_
∑u⊆s∑
v⊆t
c (u
,v
)c(u,v)
c(u,v)
最小割為割的容量最小的那個。
增廣路在殘量網路中s到t的一條簡單路徑【容量為0視作斷開】
結論：一.增廣後的網路的流量等於殘量網路中流量加上流量網路中流量。
二.增廣後流量網路中流量增加
三.對於任意流f，任意割之間的網路流量不變。
四. 任意流的流量不超過任意割的容量。
定理：最大流最小割定理
對於乙個網路g，下面三個命題總是等價
1.流f是g的最大流。
2.當前流f 的殘量網路g_f上不存在增廣路。
3.存在某個割使得|f| = c(s, t)成立。由引理四可知，滿足條件的割必定是最小割。
最大流演算法：
一.增廣路演算法（ff演算法）：
1.在圖上找到一條增廣路
2.去增廣路上的殘量最小值v。(也就是流過的路徑中流量最小的那乙個)
3.將答案加上v。
4,.將增廣路上所有邊的殘量減去v，反向邊的殘量加上v。
重複上邊4個步驟直到找不到增廣路為止。
二.ek演算法
該演算法是在ff演算法基礎上的改進。
考慮每次都選擇最短的增廣路進行增廣。
【增廣路長度定義為源點到匯點經過的邊數】
三.dinic演算法
對於ek演算法有乙個顯然的優化：
ek演算法是一遍bfs中找到一條增廣路。
而dinic演算法是一遍bfs後構建出乙個可行網路，在可行網路中dfs多條增廣路進行增廣。
可行邊：在殘量網路中，若兩個端點間的最短路恰好差1，就稱之為可行邊
可行網路:由可行邊組成的網路
然後發現網路流的模板其實很容易，但主要關鍵是對乙個問題建模，轉換成網路流的問題。所以網路流問題的難點就是如何建模。
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