對有限集合\(a\),存在函式\(f:n→a\)具有下述性質：若\(|i－j|\)是素數,則\(f(i)≠f(j),n=\\)．求有限集合a的元素的最少個數．
【引理】\(\forall p\ge 2\),若\(p\)為質數，則\(p=4n+1\)或\(p=4n+3,n\in \mathbb n\)
證明：①所有大於2的素數都是奇數
②\(4n+1,4n+3\)表示了所有的奇數
【證明】
\(1,3,6,8\)中每兩個數的差為素數,所以\(f(1),f(3),f(5),f(8)\)互不相同,\(|a|≥4\)．
另一方面,令\(a=\\)．對每一自然數\(n\),令\(f(n)=n\operatorname 4\),則在\(f(i)=f(j)\)時,\(|i－j|\)被4整除．所以不被4整除時，\(f(i)\neq f(j)\)，因而\(|i-j|\)是質數。
因而\(f\)是滿足條件的函式，a的元素個數最少為4．
#include #include #include #include #include #include using namespace std;
long long read()
while(c>='0'&&c<='9')
return a*op;
}int n, ans = 0x3f3f3f3f, now, col[10], ans_col[10];
int main()
else
return 0;
}
①\(\forall i\in[1,m],b_i\in[0,n]∩\mathbb z\)②\(\sum\limits_^ma_ib_i\le d\)
在滿足以上條件的情況下，求\(\left( \sum\limits_^mb_i+k\min_^mb_i\right)_\)
\(t\)組資料.
首先有貪心：\(a_i\le a_j\)則\(b_i\ge b_j\)，將\(a\)排序，列舉有多少個\(b\)達到了上界\(n\)。若有\(s\)個達到了上界。我們設\(b_=x\)，則答案為：
\[ni+x+\left\lfloor \dfrac^sa_i-a_x}^na_i}\right\rfloor(k+m-i-1)
\]後面是形如\(x+a\left\lfloor \dfrac\right\rfloor(a\ge 0)\)的形式，這個函式形如鋸齒狀，有三種可能達到最大值。
(1)開始的第乙個峰值
m
/|/ | /|
|/ | /
|/
m
/|/| / |/
/| / |/
/ |/
m
//| /
/| / |/
/ |/
盡可能提高\(\min b_i\)，零頭去提高\(b_s\)
盡可能提高\(b_s\)，零頭去提高\(\min b_i\)（雖然零頭顯然不足以提高）
讓\(\min b_i\)增加1，剩下全部去提高\(b_s\)
時間複雜度\(o(tn\log n)\)
#include using namespace std;
const int maxn = 200005;
int t, m;
long long k, n, ans, sum, d, a[maxn];
int main()
if (i != m)
sum -= a[i];
d -= a[i] * n;
} printf("%lld\n", ans);
} return 0;
}
考慮將鏈拆分為\(a\)到\(\operatorname(a,b)\)與\(\operatorname(a,b)\)到\(b\)。記\(\operatorname(x)\)表示\(x\)的深度。
\(a\)到\(\operatorname(a,b)\)上的答案就是\(\operatorname(x)-\operatorname(a)=x\)的\(x\)個數，也就是說\(\operatorname(x)-x=\operatorname(a)\)的\(x\)個數，另一段類似，先討論一段。
注意到前面的這是個常數，令\(b_x=\operatorname(x)-x\)，所以就是查鏈上有多少個點\(x\)滿足\(b_x\)為常數\(\operatorname(a)\)，這個查分一下，可以變成查詢點到根路徑上有多少個點滿足\(b_x\)為常數。
離線做乙個樹上字首和，維護乙個陣列，表示每個\(b_x\)的出現次數，然後\(\text\)，\(\text\)到\(x\)時將\(b_x\)插入到這個陣列中，\(\text\)出\(x\)的時候，將\(b_x\)刪去，\(\text\)到乙個點的時候處理所有被離線到這個點的詢問即可。總時間複雜度\(o(n+m)\)。
對於乙個長為01序列，初始都為1.先有\(m\)條指令，第\(i\)條指令是一對數\((x_i,y_i)\)，你可以選擇：
記錄該條指令為1，表示將\(y_i\)變為0，\(x_i\)變為1
記錄該條指令為0，表示將\(x_i\)變為0，\(y_i\)變為1
輸出乙個長為\(m\)的01串，第\(i\)個數（0或1）表示第\(i\)條指令的情況，並使得最終仍有不小於\(\left\lfloor \dfrac\right\rfloor\)個數為1.
看到\(\left\lfloor \dfrac\right\rfloor\)容易想到兩兩分組。剛開始我們令\((1,2)\)一組，\((3,4)\)一組，如果最後乙個數是奇數則\(n\)單獨一組。一組\((x,y)\)表示經過前若干個操作後可以在\(x\)或\(y\)中，組與組之間互不影響。
經過乙個導線\((x,y)\)後，如果之前分組\((x),(y,z)\)合併則調整為\((x,y),(z)\)，如果是\((x,u),(y,v)\)則調整為\((x,y),(u,v)\)。考慮所有情況容易發現這樣不會出錯。構造只需要反推。複雜度\(o(n+m)\)。
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