生日蛋糕搜尋剪枝

《更新提示》

《第一次更新》

《正文》

7月17日是mr.w的生日，acm-thu為此要製作乙個體積為n×π的m層生日蛋糕，每層都是乙個圓柱體。

設從下往上數第i(1 <= i <= m)層蛋糕是半徑為ri, 高度為hi的圓柱。當i < m時，要求ri > ri+1且hi > hi+1。

由於要在蛋糕上抹忌廉，為盡可能節約經費，我們希望蛋糕外表面（最下一層的下底面除外）的面積q最小。

令q = s×π請程式設計對給出的n和m，找出蛋糕的製作方案（適當的ri和hi的值），使s最小。（除q外，以上所有資料皆為正整數）

每組資料兩行，第一行為n（n <= 10000），表示待製作的蛋糕的體積為n×πn×π；第二行為m(m <= 20)，表示蛋糕的層數為m。

僅一行，是乙個正整數s（若無解則s=0）。

100

2

預備知識：圓柱體體積公式\(v=\pi r^2h\)，圓柱體側面積公式\(s'=2\pi rh\)，圓柱體底面積公式\(s=\pi r^2\)

輸出和輸入均不考慮\(\pi\)，所以直接無視所有公式中的\(\pi\)即可。

直接考慮乙個搜尋演算法，狀態為\((dep,s,v)\)，代表當前搜尋到第\(dep\)層(從上往下數)，表面積為\(s\)，體積為\(v\)，並且記錄了第\(m\)至第\(dep-1\)層的高度和半徑為\(h\)，\(r\)陣列(小寫)。然後對於每一層，列舉其高度\(h\)和半徑\(r\)，進行搜尋。

然後考慮如下的剪枝:

由於蛋糕\(dep\)層以上還有\(m-dep\)層，高度和半徑大小的要求都是遞減的，所以列舉的左邊界很容易得到。

對於半徑，其列舉右邊界顯然不能大於等於\(r_\)，不然不滿足遞減性，假設第\(dep\)層就是最後一層，那麼由圓柱體體積公式\(\pi r^2h=\pi (n-v)\)可以得到半徑\(r\)顯然需要滿足\(r \leq \sqrt\)，這就是半徑的列舉範圍。

對於高度，同樣右邊界不能大於等於\(h_\)，不然不滿足遞減性，由於已知\(r\)，那麼我們也可以用體積公式得到高度\(h\)顯然需要滿足\(h \leq \frac\)，這就是高度的列舉範圍。

由圓柱體表面積與體積公式可以得到第\(1\)到第\(dep-1\)層的體積之和為

\[\sum_^(h_i*r_i^2) =n-v

\]側面積之和為

\[2\sum_^(h_i*r_i)

\]那麼可以進行如下推導：

\[2\sum_^(h_i*r_i)

\\=\frac}\sum_^(h_i*r_i)*r_

\\ = \frac}\sum_^(h_i*r_i*r_)

\\ \geq \frac}\sum_^(h_i*r_i^2)

\\ =\frac}=x

\]即第\(1\)到第\(dep-1\)層的表面積之和大於等於\(x\)，所以如果\(s+x\)大於等於已經搜到的答案時，也可以剪枝。

很多時候，\(dfs\)的剪枝是可以通過如上的縮放方式推導出來的，這就要求我們需要發現題目隱藏的性質，合理利用已知條件進行優化。

\(code:\)

#includeusing namespace std;
#define mset(name,val) memset(name,val,sizeof name)
#define filein(str) freopen(str".in","r",stdin)
#define fileout(str) freopen(str".out","w",stdout)
const int n=10000+20,m=20+20,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,h[m],r[m],minsumv[m],minsums[m],ans=inf;
inline void input(void)
inline void init(void)
h[m+1]=r[m+1]=inf;
}inline void dfs(int dep,int s,int v)
if(2*(n-v)/(r[dep+1])+s>ans)return;
if(v+minsumv[dep]>n)return;
if(s+minsums[dep]>ans)return;
for(int r=min((int)sqrt((n-v)*1.0),r[dep+1]-1);r>=dep;r--)		}
}int main(void)

《後記》

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