學習Spherical Harmonics的簡記

說的不對請拍磚！orz

sh是一種特殊的函式，高階的sh可以還原非常複雜的函式，而低階的sh比較適合還原低頻函式。現代gpu硬體通常支援4個channel的texture，或者支援大頂點格式，這也為4階以內的sh（需要4^2=16個係數）在gpu上的實現奠定了基礎。

很多函式可以近似分解為多個不同相位、不同頻率的正弦波，也是傅利葉變換所解決的問題。sh也類似的，由多個基函式疊加合成，對於不同的基函式有不同的係數，使得sh可以模擬很多函式，當然它的特性在圖形學的範疇內是比較適合模擬diffuse光照中各向同性的特點。

sh有幾個牛逼的特性，乙個是rotation invariant，對於旋轉，存在乙個旋轉函式可以把sh旋轉過來。還有乙個就是dot product，由於正交性，可以把sh函式相乘的積分化解為幾個dot product！在我看來這是使用sh的最主要目的了。

在prt及其變種中，sh對原函式的壓縮和還原是作為核心思想直接使用的。而prt也受到了sh帶來的限制，即球諧的特性導致了各向同性，在diffuse情況下工作得很好，而完全不能用在specular的情況下。所以specular的東西還是需要其他的模型去實現。

實現prt的話，我們這樣做：

1）預計算，通過raytracer獲得頂點或紋素上的輻射度傳遞資訊，如果你懶得實現乙個raytracer的話，你可能只能得到無陰影，無相互反射的n dot l的效果。當然這輻射度資訊的部分如果用gpu來加速應該也是可行的。將輻射度資訊投影到sh空間，儲存輻射度的sh係數。

2）執行時，把球面上的光照向量投影到sh空間，儲存為光照sh係數。在shader中通過madd也就是一系列點乘運算將輻射度sh係數和光照sh係數乘起來，就可以得到最終輻射度的效果，將其作為引數加入光照模型即可得到一幅低頻的，有軟陰影甚至是interreflection的diffuse畫面。

當然實際情況遠沒那麼簡單，尤其是sh係數的旋轉，很煩。目前d3dx中的d3dxshrotate也只支援最高6階的sh。