演算法分析基礎

定義

如果存在正常數c與n0，使得當n >= n0時t(n) <= cf(n)，則記為$t(n）= o(f(n))$。

如果存在正常數c與n0, 使得當n >= n0時t(n) >= cg(n)，則記為$t(n) = \omega(g(n))$。

當且僅當t(n) = o(h(n))且t(n) = ω(h(n))時，則$t(n) = \theta(h(n))$。

如果t(n) = o(p(n))且t(n) != θ(p(n))，則$t(n) = o(p(n))$。

法則

如果t1(n) = $o(f(n))$且t2(n) = $o(g(n))$，那麼:

(a)t1(n) + t2(n) = $max(o(f(n)), o(g(n)))$

(b)t1(n) * t2(n) = $o(f(n) * g(n))$

如果t(n)是乙個k次多項式，則$t(n) = \theta(n^k)$

對於任意常數k，$\log^k = o(n)$

函式增長率

典型增長率

函式名稱c常數

$\log$

對數級$\log^2$

對數平方根

n線性級

$n\log$

$n^2$

平方級$n^3$

立方級$2^n$

指數級判斷兩個函式的增長率

可以通過比較兩個函式的極限:$\lim\limits_\frac$，來確定兩個函式的增長率。必要的時候，還可以使用洛必達法則。

該極限有4種可能:

1 極限是0，這意味著$f(n) = o(g(n))$;

2 極限是常數c != 0，這意味著$f(n) = \theta(g(n))$;

3 極限是$\infty$，這意味著$g(n) = o(f(n))$;

4 極限擺動，二者無關

for迴圈

一次for迴圈的執行時間至多是for迴圈內語句(包括測試)的執行時間乘以迭代得次數

for (i = 0; i < n; i++) 
}

上面的例子當中，時間複雜度是$n^2$。

順序語句

將各個語句的執行時間求和即可(這意味著，其中的最大值就是所得得執行時間)

for (i = 0; i < n; i++)    
for (i = 0; i < n; i++) 
}

上面例子當中，第乙個迴圈時間複雜度是$o(n)$，第二個迴圈時間複雜度是$o(n^2)$，兩個迴圈的總體時間複雜度為$o(n) + o(n^2) = max(o(n), o(n^2))$，也就是還是$o(n^2)$。

if/else語句

對於程式片段:

if
(condition)  
else

乙個if/else語句得執行時間從不超過判斷再加上s1和s2中執行時間長的執行時間。

執行時間中的對數

如果乙個演算法用常數時間o(1)將問題的大小削減為其一部分(通常是1/2)，那麼該演算法得時間複雜度就是$o(\log)$。舉個例子，下面是用迭代的方法寫的二分查詢：

int binarysearch(const elementtype a, elementtype x, int
n)  
else
else}}
return
notfound;
}

在上面的二分法中，每次迭代的時間複雜度是$o(1)$，並且每次迭代之後，問題複雜度就減為原來的一半，因此，這個程式的時間複雜度為$o(\log)$。

另一方面，如果使用常數時間只是把問題減少乙個常數(如將問題減少1)，那麼這種演算法就是$o(n)$。舉個例子，下面使用遞迴的方式求解n!:

long
int factorial(int
n)  
else
}

在上面的遞迴中，每次遞迴的時間複雜度是$o(1)$，並且遞迴之後，問題複雜度只比原來少1，因此，這個程式的時間複雜度就是$o(n)$。

對於乙個問題複雜度為t(n)的問題，可以分解為如下的表示式:

$t(n) = at(\frac) + f(n)$，其中a是常數，且a >= 1, b也是常數，b > 1。

1 如果存在正常數$\varepsilon > 0$令$f(n) = o(n^ - \varepsilon})$，那麼$t(n) = \theta(n^})$;

2 如果$f(n) = \theta(n^^})$，那麼$t(n) = \theta(n^}\log)$;

3 如果存在正常數$\varepsilon > 0$使得$f(n) = \omega(n^} + \epsilon})$且存在常數c < 1使得對於足夠大的n滿足$af(\frac) \leq cf(n)$，那麼$t(n) = \theta(f(n))$.

這三種情形如何記憶呢？我們可以這樣記憶，三種情況的結果取決於函式f(n)與$n^^}$的大小。如果$n^^}$大，那麼結果就是情形1；如果是f(n)大，那麼結果就是情形3；如果兩個同級別，那麼就是情形2。

還需要注意的事情是，這三種情形沒有覆蓋所有的情形。情形1與情形2之間有gap，如果f(n)比$n^}$小，但是如果不是同時小乙個$n^\epsilon$因子，就落到情形1與情形2之間；同時，情形2與情形3之間也有gap，如果f(n)比$n^}$大，但是如果不同時大乙個$n^\epsilon$因子，就落到情形2與情形3之間。如果發生這兩種情形，就無法應用上面的三個公式。

下面我們看一下實際的例子。

1 $t(n) = 9t(\frac) + n$

其中a = 9, b = 3, f(n) = n，$n^ } = n^} = \theta(n^2)$，並且$f(n) = o(n^})$，其中$\varepsilon = 1$，那麼這個滿足情形1，即$t(n) = \theta(n^}) = \theta(n^2)$。

2 $t(n) = t(\fracn) + 1$

其中a = 1，b = $\frac$，f(n) = 1，同時$n^} = n^0 = 1$，那麼這就滿足情形2，即$t(n) = \theta(n^}\log) = \theta(\log)$。這其實就是上面執行時間中的對數當中得情形1。

3 $t(n) = 3t(\frac) + n\log$

其中a = 3，b = 4，f(n) = $n\log$，$n^} = n^} = \omega(n^)$。因為$f(n) = \omega(n^ + \varepsilon})$ $\varepsilon \cong 0.2$，同時對於足夠大的n，滿足$af(\frac) = 3(\frac)\log\frac \leq \fracn\log = cf(n)$，其中$c = \frac$。這就滿足了情形3，即$t(n) = \theta(n\log)$。

4 $t(n) = 2t(\frac) + n\log$

其中a = 2，b = 2，$f(n) = n\log$, $n^} = n^} = n$，表面上看，這屬於情形3，但是，卻不存在乙個正常數$\varepsilon$，使得$\frac + \varepsilon}} = \frac} + \varepsilon}} = \frac} = \frac} \ge 1$。所以無法運用上面3中情形的公式。

演算法分析基礎

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