演算法分析的基礎知識

《資料結構與演算法分析--c語言描述》第二章筆記

主要記錄演算法分析的一些理論基礎，包括數學定義以及時間複雜度分析法等。

數學知識

關於時間複雜度的定義（目的在於建立乙個相對的級別關係）：

定義一：θ(g(n)) =

幾條法則：

1/  若t1(n)=o(f(n))， t2(n)=o(g(n)),

則t1(n)+t2(n)=o(max(f(n), g(n)))

t1(n)*t2(n)=o(f(n)* g(n))

2/若t(n)是以k次多項式，則t(n) = θ(n^k)

3/對於任意常數k，log以k為底n=o(n)

常見時間複雜度推論：

ο(1)＜ο(log2(n))＜ο(n)＜ο(n*log2(n))＜ο(n^2)＜ο(n^3)＜…＜ο(2^n)＜ο(n!)

程式語言中對於時間的估計

簡單語句

t=1；迴圈

一次for迴圈的執行時間至少是**塊內**執行時間總和t乘以迴圈次數n，t=t(迴圈裡面的語句複雜度)*n(迴圈次數)；

特例：

int sum = 1;

while ( sum < n )

巢狀的for迴圈

從裡向外分析，假設兩層巢狀，執行的總時間為t=t*n1(外層迴圈次數)*n2(內層迴圈次數)；

特例：

for ( i = 0; i < n; i++ )

}

時間複雜度為o(n^2)

順序語句

將各個語句的執行時間求和，t=t1+t2+...+tn；

分支語句

執行時間不超過判斷時間加上if...else...中的長者，t=t_if+t_ex；

遞迴函式

對於能拆解為for形式的遞迴，按for計算。如果不行則須列式計算。

時間複雜度的分析原則

1/例**：

for(i = 0; i < n; i++)

a[i]++;
for(i = 0; i < n; i++)
for(j = 0; j < n; j++)
a[i][j]++;

相加後其時間為n+n^2，但是

低次項通常忽略，記為o(n^2).

2/例**

for(i = 0; i < n; i++)

其時間為2*n，但是

常數項通常忽略，記為o(n)

(完)

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