平面最近點對問題分治

1）演算法描述：已知集合s中有n個點，一共可以組成n(n-1)/2對點對，蠻力法就是對這n(n-1)/2對點對逐對進行距離計算，通過迴圈求得點集中的最近點對

2）演算法時間複雜度：演算法一共要執行 n(n-1)/2次迴圈，因此演算法複雜度為o(n2)

**實現：

利用兩個for迴圈可實現所有點的配對,每次配對算出距離然後更新最短距離.

for (i=0 ; i < n ;i ++)｛

for(j= i+1 ; j

1) 把它分成兩個或多個更小的問題；

2) 分別解決每個小問題；

3) 把各小問題的解答組合起來，即可得到原問題的解答。小問題通常與原問題相似，可以遞迴地使用分而治之策略來解決。

在這裡介紹一種時間複雜度為o(nlognlogn)的演算法。其實，這裡用到了分治的思想。將所給平面上n個點的集合s分成兩個子集s1和s2，每個子集中約有n/2個點。然後在每個子集中遞迴地求最接近的點對。在這裡，乙個關鍵的問題是如何實現分治法中的合併步驟，即由s1和s2的最接近點對，如何求得原集合s中的最接近點對。如果這兩個點分別在s1和s2中，問題就變得複雜了。

為了使問題變得簡單，首先考慮一維的情形。此時，s中的n個點退化為x軸上的n個實數x1，x2，...，xn。最接近點對即為這n個實數中相差最小的兩個實數。顯然可以先將點排好序，然後線性掃瞄就可以了。但我們為了便於推廣到二維的情形，嘗試用分治法解決這個問題。

假設我們用m點將s分為s1和s2兩個集合，這樣一來，對於所有的p(s1中的點)和q(s2中的點)，有p

遞迴地在s1和s2上找出其最接近點對和，並設

d = min

由此易知，s中最接近點對或者是，或者是，或者是某個，如下圖所示。

此時，一維情形下的最近點對時間複雜度為o(nlogn)。

在二維的情況下:

我們仿照一維的情況先把所有點按照x(橫座標)從左到右公升序排列.

以x橫座標中間的點作為分界線.將平面的點分成左邊和右邊,以上圖為例,分為左邊5個右邊5個.

然後找到左邊的點中最近點對的距離d1,和右邊最近點對的距離d2。

令d=min.那麼d是當前整個平面的最近點對的距離嗎?

答案不是!!

當前的d1,d2都是兩邊各自的點的最近距離,但是沒有考慮到兩邊的點相互配對的情況,即是點對乙個在左邊區域,乙個在右邊區域.

如果我們這個時候把兩邊相互配對的所有情況全部羅列出來那麼時間複雜度就變為第一種方法的o(n2).

這個時候我們便可以用上面找到的d來限制配對.即是明顯超過d的兩點不需要配對.如下：

那麼在範圍內的只有三個點,也就是說只有這個三個點相互配對的距離才可能比d小.那麼再按照方法一一樣在這些點中找到最短距離再跟d去比較.小的就是當前整個平面中所考慮的所有點中最近點對的距離。

然而在以上問題處理上,有乙個問題尚未解決就是如何找到兩邊區域中的最近點對的距離d1,d2 ?

我們可以發現在處理上面這個問題的時候，和最開始處理所有平面的點最近點距離的問題類似，只是點的數目減半了.

那麼我們可以遞迴以上問題.直到劃分的區域中只有乙個或者兩個點.這樣,該區域的最近點對距離就是無窮大或者該兩點的距離。這也是遞迴終止的條件。

**實現：

1 #include 2 #include 3 #include 4 #include 5 #include 6

using

namespace

std;

7const

double inf =1e20;

8const

int maxn = 100005;9

10struct

pointpoint[maxn];

1314

intn, mpt[maxn];

1516

17//

以x為基準排序

18bool cmpxy(const point& a, const point&b)

2324

bool cmpy(const

int& a, const

int&b)

2728

double min(double a, double

b)31

32double dis(int i, int

j)35

36double closest_pair(int left, int

right)

52 sort(mpt, mpt +k, cmpy);

53//

線性掃瞄

54for (i = 0; i < k; i++)59}

60return

d;61}62

63int

main()

70return0;

71 }

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