batch
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題目描述
n個任務排成乙個序列在一台機器上等待完成（順序不得改變），這
n個任務被分成若干批，每批包含相鄰的若干任務。從時刻
0開始，這些任務被分批加工，第
i個任務單獨完成所需的時間是ti
。在每批任務開始前，機器需要啟動時間s，而完成這批任務所需的時間是各個任務需要時間的總和（同一批任務將在同一時刻完成）。每個任務的費用是它的完成時刻乘以乙個費用係數fi
。請確定乙個分組方案，使得總費用最小。
例如：s=1；t=；
f=。如果分組方案是、、
，則完成時間分別為
，費用c=
，總費用就是
153。
輸入格式
第一行是n(1<=n<=5000)。
第二行是s(0<=s<=50)。
下面n行每行有一對數，分別為ti和fi，均為不大於100的正整數，表示第i個任務單獨完成所需的時間是ti及其費用係數fi。
輸出格式
乙個數，最小的總費用。
輸入樣例51
1 33 2
4 32 3
1 4輸出樣例
額 哇哇哇 dp寫掛了 qaq
正解1
f[i] 前i個任務的最優結果
f[i]=min
好東西呢 唉 qaq
詳細題解如下：
暴力方法
由於每一批任務連續，所以預處理出兩個字首和陣列：
sumt[i] 表示
執行前i個任務所需要的時間 ， 即t[1]+t[2]+...+t[n]
sumc[i] 表示
不乘時間時，執行前i個任務所需要的費用 ， 即c[1]+c[2]+...+c[n]
dp子狀態：
dp[i][j] 表示 前i個任務分成j批所需要的最小費用。
於是可以由dp[k][j-1]推出dp[i][j]：
dp[i][j]=min
時間複雜度o(n^3)，
空間複雜度o(n^2)。
略微優化
暴力方法的dp子狀態空間是二維的，由於n <= 10000 ，所以考慮將二維狀態降到一維。
將第一維去掉的想法不太實際，故考慮將第二維去掉。
首先思考所有任務都放到同一批中，觀察每個任務需要等待s時間的次數：
任務編號 1 2 3 ... n
等待次數 1 1 1 ... 1
當將1~pos1分成乙個區間時，每個任務需要等待的次數變為：
任務編號 1 2 3 ... pos1 pos1+1 ... n
等待次數 1 1 1 ... 1 2 ... 2
（如果仍然看不出來，可以再分幾次找找規律）
觀察等待次數：每次多分出乙個區間，區間左端點到n都需要多等待一次s時間。
故可以推出乙個新的方程：
dp[i]=min+sumt[i]*sumc[i+s*sumc[n]
去掉min函式，把dp[j]和sumc[j]看作變數，整理出dp[j]關於sumc[j]的一次函式（重要！）：
dp[j]=(s+sumt[i]) * sumc[j] + (dp[i]-sumt[i]*sumc[i]-s*sumc[n])
y = k * x + b
其中sumc[j]是自變數，dp[j]是因變數，s+sumt[i]是斜率，後面一串為截距。
建立乙個平面直角座標系：
每個決策j的二元組(sumc[j] , dp[j])表示座標系中的點。
當前狀態dp[i]表示直線的截距（且這條直線斜率為s+sumt[i]）。
令直線過每個點可以得到解出截距，使截距最小的就是最優決策。
如圖：
討論三個決策點j1,j2,j3（j1
第一種情況：上凸。用眼睛觀察（hhh）可知，j2此時不可能成為最佳決策點，故放棄。
第二種情況：下凹。此時j2有可能成為最佳決策點。
最後把所有可能成為最佳決策點的j處理出來，即維護乙個相鄰點斜率單調遞增的「凸殼」。
其中最佳決策點左端斜率
又因為s+sumt[i]是單調遞增的，所以可以用單調佇列找第乙個右端斜率》s+sum[i]的點。
總時間複雜度：迴圈遞推o(n)+單調佇列o(n)=o(n)。
空間複雜度：一維狀態
o(n)。
#include typedefn^2暴力ac！long
long
ll;typedef
double
db;const
int n=1e6+10
;int
n,s,s[n],t[n],q[n],head,tail;
ll dp[n],val[n];
db k(
int j,int k)
intmain()
q[head=tail=1]=0
;
for (int i=1;i<=n;i++)
printf(
"%lld\n
",dp[n]);
return0;
}
#include#define maxn 5005using
namespace
std;
intt[maxn],f[maxn],sumt[maxn],sumf[maxn],dp[maxn];
intmain()
return0;
}
P2365 任務安排
n個任務排成乙個序列在一台機器上等待完成 順序不得改變 這 n個任務被分成若干批，每批包含相鄰的若干任務。從零時刻開始，這些任務被分批加工，第 i個任務單獨完成所需的時間為 ti 在每批任務開始前，機器需要啟動時間 s，而完成這批任務所需的時間是各個任務需要時間的總和 同一批任務將在同一時刻完成 每...
P2365 任務安排 題解
p2365 任務安排 這道題有弱化版和強化版，這道題是弱化版 我們很容易能想到乙個 dp 方程 f p i 表示前 i 個取了 p 段的最優解，於是轉移方程 f p i min f p 1 j st i p ast s ast sf i sf j 這個轉移方程是 o n 3 的考慮怎麼優化 對於每次...
動態規劃 洛谷P2365 任務安排
n個任務排成乙個序列在一台機器上等待完成 順序不得改變 這n個任務被分成若干批，每批包含相鄰的若干任務。從時刻0開始，這些任務被分批加工，第i個任務單獨完成所需的時間是ti。在每批任務開始前，機器需要啟動時間s，而完成這批任務所需的時間是各個任務需要時間的總和 同一批任務將在同一時刻完成 每個任務的...