最近一場模擬賽考了這個公式，發現自己不會證，在 @y_b_x 大佬的幫助下學會了證明，記錄一下方便複習解：首先設 \(\\) 的普通生成函式為
\[f(x)=\sum\limits_
\]按套路，設
\[g(x)=\sum\limits_=f(x)-x-x^2
\]那麼有:
\[g(x)=\sum\limits_=\sum\limits_+f_)x^k}=x\sum\limits_+x^2 \sum\limits_=x(f(x)-x)+x^2f(x)
\]結合 \(g(x)=f(x)-x-x^2\)，移項解得：
\[f(x)=\frac
\]這就是斐波那契數列的生成函式。
到了這一步，我們將它級數展開，按套路設：
\[\frac=\frac=\frac+\frac
\]可解得 \(x_1=\frac,x_2=\frac\)，整理上式有：
\[a=\frac,b=-\frac
\]將 \(f(x)=\frac+\frac\)級數展開：
\[f(x)=a(\sum\limits_)+b(\sum\limits_)
\]將 \(a,b,x_1,x_2\) 全部代入，最後有：
\[f(x)=\sum\limits_[\frac(\frac)^k-\frac(\frac)^k]x^k
\]於是有斐波那契數列的通項公式：
\[f_n=[x^n]f(n)=\frac(\frac)^n-\frac(\frac)^n
\]\[f_n=\frac(\frac)^-\frac(\frac)^
\]
PHP解斐波那契數列
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