資料壓縮不僅能夠減小儲存空間，並且能夠加速學習演算法。那麼什麼是資料壓縮呢？下面給出了乙個簡單的例子：
圖1.資料壓縮的概念
舉了兩個例子，乙個是橫軸x1是厘公尺，縱軸特徵x2是英呎，這明顯是冗餘的，但是在真正的實施過程中，這並不常見，這並不是乙個好例子。
另乙個例子是，橫軸是駕駛員的技術，縱軸是駕駛員的快樂程度，曲線的含義是駕駛員的能力，那麼比較明顯的是，可以捨去駕駛員的快樂程度這個特徵。即將資料集從2維轉向1維。
圖2.二維資料壓縮
在圖中，將綠線投影到乙個軸上，那麼如果點的排列方式能夠一一對應，並且反映原來的順序，那麼就可以用其中乙個特徵來表示兩個，從x(1)二維轉換到z(1)一維，從而實現了資料壓縮。這種方法能讓演算法執行的更快，同時也能夠減少資料儲存空間。
圖2.三維資料壓縮
在實際中，有將1000維壓縮到100維的，但是不方便進行畫圖展示。如圖中，三維的可以觀察出資料基本上同一平面內，所以圖2中就新構建了乙個二維的平面圖，將資料都投影到二維平面上，將三維降低到二維。
圖3.高維資料
比如得到了各個國家的乙個高維資料圖，有很多指標，那麼如何來進行視覺化呢？如下圖，選取幾個指標來表示國家，比如兩個：
圖4.二維資料視覺化
比如橫軸表示國家的大小/gdp，縱軸表示，人均gdp的數量，從圖中可對點進行現實意義的分析。
圖5.主成分問題規劃
將資料從二維到一維，需要找到乙個向量的方向，將其他點投影，這個方向是滿足最小化投影誤差。那麼就可將資料降維。
從三維降到二維，需要兩個投影向量組成乙個平面，將其他點投影，作最小化投影誤差。
從n維降到k維，就需要選k個向量進行投影，並且最小化投影誤差。
那麼從左圖中看，pca似乎和線性回歸很像，那麼二者之間有何關係呢？
實際兩者是完全不同的演算法，pca是找到乙個低維的平面進行資料的投影，以便最小化投影誤差。
圖6.資料預處理
首先求出m個資料的均值每個維度的均值，並且對i個資料，每個對應的維度都變成平均的，圖中下邊給的公式是在有監督學習中，每個資料的i維-均值，並且除以s_j，通常是max-min或者是均方誤差。這樣讓不同含義的資料都能夠進行歸一，又可以比較的值。
圖7.主成分分析演算法
首先，第乙個公式中，左邊的σ不是求和符號，而是表示矩陣，那麼它是乙個n*n的矩陣，也就是協方差矩陣。
然後再計算協方差矩陣σ的特徵向量，可以使用svd函式。令協方差矩陣是正定矩陣。現在就可以用[u,s,v]是用svd命令來計算協方差矩陣。
圖8.演算法
取u的前k列，得到乙個u_reduce是n*k的，那麼用它的t*訓練集中的每個x，最終會得到乙個k維的向量，這個就是投影壓縮之後的。
第十五章預習
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