圖1.推薦系統在研究什麼？
例子：**電影的評分。
當知道n_u使用者數,n_m電影數；r(i,j)使用者j評價了電影i，那麼就是1；y(i,j)如果r(i,j)為1，那麼就給出評分。
問題就是根據現有資料訓練學習演算法，**未評分的電影。
圖2.基於內容的推薦系統
對5部電影進行型別分析，有兩個指標x_1,x_2,分別是愛情、動作，加上x_0之後形成指標。
從線性回歸的角度來說，對每乙個使用者訓練乙個回歸模型，每個使用者都對應係數，對使用者1alice的引數[0,5,0]t，即對愛情片評分高，那麼x電影引數輸入後就得出大分為4.95.
圖3.問題公式
這裡引入了代價函式公式，介紹了引數的含義，r(i,j)即是否已經評分，y(i,j)是如果評分的分數。
θ(j)是對使用者j的引數，x(i)是電影i的特徵向量，m(j)是評分電影的數量，並且公式加入了正則項。
在優化時，由於m(i)是常數，所以可以將其去掉，優化時仍能得到最優的theta_j。
圖4.最優化演算法
第乙個公式是對所有的引數進行求和並最小化，記作j(θ1，θ2，，，，θm)。
梯度下降更新，當k=0，也就是常數項；當k≠0，即需要正則化非常數項。
基於內容的推薦演算法是有乙個前提的，就是電影的所有特徵指標型別都是已知的，但是這通常不會很符合正常情況，下節介紹不是基於內容的推薦演算法。
圖5.問題動機
由於電影的成分向量通常是不可得的，所以通過另一種方法來獲取電影的成分向量。
假設使用者給出了對愛情電影和動作電影的喜愛程度，即係數矩陣，那麼根據評分，就可以得出對應的電影的成分向量特徵。
圖6.最優化演算法
對乙個電影求成分向量，通過最優化式1。
對n_m個電影求最優化，需要加上乙個求和項，對n_m個電影的引數求和並最小化。
圖7.協同過濾
上節講的是給定電影的成分向量和評分，可以**出使用者偏好向量。
本節講的是給出使用者偏好向量，可以估測出x_(1),,,,,電影的成分向量。
那麼就得出，首先通過隨機初始化偏好向量，就可以根據對電影的已有評分**出成分向量，那麼再根據方法1，**出偏好向量，以此類推，得到最終的優化結果。
圖8.協同過濾最優化目標
對式1中，前一項的求和是如果使用者j評分了，那麼就將某一使用者對電影評分的分數求和。
對式2中，正好相反，是對乙個電影來說，將所有使用者評分求和。
式3是將其合併，作為乙個最小化公式。
並且最後提到x和θ中不存在常數項，即1項，那麼就是n維的，不是n+1維的。
圖9.協同過濾演算法
1.首先初始化成分向量和使用者偏好向量為較小的隨機值。
2.使用梯度下降法最小化代價函式，對i電影的第k個屬性的更新公式，與對j使用者對第k個電影的評分更新公式。
3.對每個使用者得出了引數θ，並且對乙個電影學習到了特徵向量x,那麼就是已通過θtx來得到評分。
如使用者j對電影i沒有評分，那麼就可以通過這個θtx來進行**。
圖10.低秩矩陣分解
將電影的評分作為矩陣y，那麼**的評分就如右邊大矩陣，其中列向量是乙個使用者對所有電影的評分，行向量是乙個電影所有的評分。
那麼如何進行簡化呢？
首先將x矩陣表示為左下，θ矩陣表示為右下，那麼整個大矩陣就可表示為 xθt。
圖11.尋找相似電影
那麼如何向使用者推薦相似電影呢？
根據電影的特徵向量，找到5個與當前電影特徵向量最小距離的，即為相似電影。也不只是電影，可以拓展到任何其他物品。
圖12.加入有使用者從未評分
假設偏好向量中特徵數為2，若eve未對任一電影評分；
此時由於加入了正則化項，且式子前半部分沒有對θ有所限制，所以會得到，θ_(5)=0向量的結果。
那麼此時就這個使用者的評分**就會產生誤差。
需要使用均值歸一化來解決問題。
圖13.均值歸一化
將電影評分形成矩陣，並按行求出沒個電影的評分均值得到均值向量μ， y-μ之後，得到新的均值矩陣。
在使用協同過濾演算法訓練出theta_j與x_i之後，在進行**電影評分時，仍要+均值。
對於之前出現的問題，使用者5得到的偏好向量仍然為0，但是現在加上了均值，就避免了評分全為0的現象，即根據電影的均值評分進行推送了。
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