跟著程式設計之美學演算法陣列分割

對於這個問題，首先按照《程式設計之美》中的分析對這個問題進行一定的簡化。從2n個數中找n個元素，有三種可能：大於sum/2，小於sum/2以及等於sum/2。而大於sum/2與小於等於sum/2沒區別，故可以只考慮小於等於sum/2的情況。

動態規劃第一步，分析子問題：

這裡我們用乙個三維陣列f表示子問題，f[i][j][k]表示前i個元素中選取j個元素，使得其和不超過k且最接近k。這個子問題可以根據第i個元素是否選擇來進行分析：

如果我們想回溯找到一組合理的分割方式，那麼在子問題的求解過程中，就要記錄有效的路徑，這樣我們再用乙個三維陣列path來記錄。

偽**如下所示：

1 f = 0
2 path = 134
for i = 1 to 2*n
5     nlimit =min(i, n)
6for j = 1
to nlimit
7for k = 1 to sum/2
8             f[i][j][k] = f[i-1
][j][k]
9if k > a[i] && f[i-1][j-1][k-a[i]] + a[i] >f[i][j][k]
10                 f[i][j][k] = f[i-1][j-1][k-a[i]] +a[i]
11                 path[i][j][k] = 1
1213
return f[2n][n][sum/2], path

view code

按照這樣思路，該演算法的時間複雜度為o(n^2*sum)，空間複雜度也為o(n^2*sum)。

一下的分析，是針對上面的演算法，進一步優化。優化的方向為降低空間複雜度。

優化的思路借鑑了0-1揹包問題的思路，最外層迴圈是對元素的順序遍歷，這一步可以省略，為了保證每次計算時，問題f[i][j][k]的第i-1步為上次的狀態，那麼我們選擇倒敘遍歷變數j，這樣可以保證變數i-1狀態為上一步的狀態。

這樣改進之後的偽**是：

1 f = 0
2 path = 034
for i = 1 to 2*n
5     nlimit =max(i, n)
6for j = nlimit to 1
7for k = 1 to sum/2
8if k > a[i] && f[j-1][k-a[i]] + a[i] >f[j][k]
9                 f[j][k] = f[j-1][k-a[i]] +a[i]
10                 path[i][j][k] = 1
1112
return f[n][sum/2], path

view code

改進後，不儲存路徑的空間複雜度為o(n*sum)，時間複雜度不變。

下面是根據記錄好的path回溯可行路徑的偽碼：

1 f = 0
2 path = 034
for i = 1 to 2*n
5     nlimit =min(i, n)
6for j = nlimit to 1
7for k = 1 to sum/2
8if k > a[i] && f[j-1][k-a[i]] + a[i] >f[j][k]
9                 f[j][k] = f[j-1][k-a[i]] +a[i]
10                 path[i][j][k] = 1
1112
return f[n][sum/2], path

view code

最後是我對演算法複雜度為o(n*sum)的c++實現:

1 #include 2
3using
namespace
std;45
int min(int a, intb)6
1213
int split_array(int *array, int
nlength)
1442}43
}44}45
int result = f[nlength/2][sum/2
];46
47int i =nlength;
48int j = nlength/2;49
int k = sum/2;50
while(i > 0 && j > 0 && k >0)51
58         i--;59}
60     cout<
61return
result;62}
6364
intmain()65;
67     cout<10)<
68return0;
69 }

view code

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