程式設計之美 2 18 陣列分割

1. 簡述

有乙個無序、元素個數為2n的正整數陣列，要求：如何能把這個陣列分割為元素個數為n的兩個陣列，並使兩個子陣列的和最接近？例如有如下陣列，1,5,7,8,9,6,3,11,20,17。應該分割為1,3,11,8,20和5,7,9,6,17。

2. 思路

方法一，暴力搜尋，遍歷每種分組方法，一共c(2n, n)種組合，複雜度是(2n!/n!)，複雜度過高。

方法二，動態規劃，原題是要求求兩個陣列的和最近接，這等價於要求其中較小的和最接近與2n個正整數的和(設為sum)的一半。因此，弱化題目，求這個最近接一半的且小於等於sum/2數值，定義heap[i]，i<=n表示任意i個數能夠構成的數值集合。初始化：heap[0]= 0。更新**：

for(int i=1; i<2*n; i++) ; j>0; j--) //
更新引入a[i]後可能的元素個數的情況
for each v in heap[j-1] //
對於引入a[i]的情況
insert(heap[j], a[i]+v);
}

關於insert次數，至多為2^(n-1)，為什麼是這個數我沒想明白，總共感覺上應該是c(2n,n)次插入啊。

方法三，複雜度主要是由於堆很大，原因是我們記錄的是各種可能組合出的數值。如果sum值不高，可以定義bool flag[i][j]，i=0,1,...,2*n，j=0,1,...,sum/2，表示是否存在i個數，其和為j。初始化，flag[0][0] = true。

for(int k=1; k<2*n; k++) ; i>0; i--)     
}}

max，其中，j=0,1,...,2*n，flag[n][j]=true，這即為所求。這樣複雜度為o(n*n*sum)級別的，尤其是當sum相對不大的時候，複雜度會大大降低。

3. 參考

程式設計之美，2.18節，陣列分割