例題：p5905 【模板】johnson 全源最短路
首先考慮求全源最短路的幾種方法：
好像……只有dijkstra還有希望？但負權邊處理不了真是很棘手啊。
一種方法是讓每條邊都加上乙個數\(x\)使得邊權為正，但考慮下圖：
\(1\)到\(2\)的最短路應為：\(1 -> 3 -> 4 -> 2\)，長度為\(-1\)。如果我們把每條邊的邊權都加上\(5\)：
此時的最短路是：\(1 -> 5 -> 2\)，就不是實際的最短路了，所以這種方法行不通
注：經本人研究，應該是兩條路徑進過的邊的數量不同而導致的
接下來，就該 johnson 登場啦！johnson 其實就是用另一種方法標記邊權啦。
首先來看看實現方法：我們新建乙個虛擬結點（不妨設他的編號為0），由他向其他的所有結點都連一條邊權為\(0\)的邊，然後求0號節點為源點的單源最短路，存到乙個\(h\)陣列中。然後，讓每條邊的權值\(w\)變為\(w+h_u-h_v\)，這裡\(u\)和\(v\)分別為這條邊的起點和終點。然後再以每個點為源點做 dijkstra 就ok了。
q：那這麼說，dijkstra 也可以求出負權圖（無負環）的單源最短路徑了？
a：沒錯。但是預處理要跑一遍 bellman-ford，還不如直接用 bellman-ford 呢。
如何證明這是正確的呢？
首先，從\(s\)到\(t\)的路徑中隨便取出一條：
\[s -> p_1 -> p_2 -> \cdots -> p_k -> t
\]則這條路徑的長度為：
\[(w_+h_s-h_)+(w_+h_-h_)+\dots+(w_+h_-h_t)
\]簡化後得到：
\[w_+w_+\cdots+w_+h_s-h_t
\]可以發現，不管走哪條路徑，最後都是\(+h_s-h_t\)，而\(h_s\)和\(h_t\)又是不變的，所以最終得到的最短路徑還是原來的最短路徑。
到這裡已經證明一半了，接下來要證明得到的邊權非負，必須要無負權邊才能使 dijkstra 跑出來的結果正確。根據三角形不等式（就是那個三角形裡任意兩條邊的長度之和大於等於另一條邊的長度），新圖上的任意一條邊\((u,v)\)上的兩點滿足：\(h_v \le w_+h_u\)，則新邊的邊權\(w_+h_u-h_v \ge 0\)。所以新圖的邊權非負。
正確性證明就是這個亞子。
**實現（注意處理精度問題，該開ll的時候開ll）：
#include#include#define maxn 5005
#define maxm 10005
#define inf 1e9
using namespace std;
int n,m;
int vis[maxn];
long long h[maxn],dis[maxn];
bool f[maxn];
struct graph
}g;//鏈式前向星
bool spfa(int s)//這裡用了bellman-ford的佇列優化
}} return true;
}void dijkstra(int s)
} }return ;
}int main()
for(int i=1;i<=n;i++) g.add(0,i,0);//建虛擬節點0並且往其他的點都連一條邊權為0的邊
if(!spfa(0))//求h的同時也判了負環
for(int u=1;u<=n;u++)
for(int i=g.hd[u];i;i=g.nxt[i])
g.dt[i]+=h[u]-h[g.to[i]];//求新邊的邊權
for(int i=1;i<=n;i++)
return 0;
}
johnson全源最短路
一下都假設該有向圖 無向圖同理 有n個點，m條邊。談及全源最短路，第乙個想到的是弗洛伊德演算法，簡單有效，因為並非本篇文章重點，所以只是把 放在這裡 int main 唯一要注意的就是必須要列舉轉折點。時間複雜度o n 3 當n很大時不是乙個可以接受的數字。或者跑n遍單元最短路。你可以用spfa跑，...
Johnson演算法 多源最短路演算法
請不要輕易點選標題 乙個適用於求可含負邊權的稀疏圖的多源最短路演算法 時間複雜度 o n cdot m cdot log m n cdot m 空間複雜度 o n m 該演算法綜合利用了dijkstra演算法和bellman ford演算法 不要慌,雖然有負邊但dijkstra可以跑 在開始講解之前...
最短路 Johnson 演算法
這個演算法可以用於處理稀疏圖，帶有負權的任意兩點間的最短路問題 如果點數 但是dij中不能存在負的邊權，所以我們要考慮一種轉化邊權的方法 可以通過類似差分約束的方法來重構邊權 對一條邊 u，v 他們的權值為e dis i 表示1 i的最短路 我們可以得到dis v dis u e 因此就可以把變成d...