資料結構線段樹詳解

線段樹是一種高效的資料結構，可以在$o(nlog_n)$的時間內查詢區間最值或區間和，解決動態的rmq問題，並且可以為一些演算法進行優化，如dijkstra最短路、掃瞄線等。

線段樹是一種基於分治演算法的二叉樹。每個結點維護乙個區間，以及在該區間內的資料資訊。在當前結點$x$，它的區間是$[left,right]$，則它的兩個子結點的區間分別為$[left,mid],[mid+1,right]$，$mid=\frac$。由於採用了分治的思想，在進行操作時每一層至多訪問兩個結點，極大優化了效率。根據定義，我們可以得出線段樹結點的結構：

template class segmenttree 
tree[lim];
int size;
// ...
};

這裡使用了類體和模板，可以適用於更多型別。

node結構體就是線段樹的結點，其中的sum是該結點維護的區間和。

線段樹的基本操作就是單點修改。根據分治思想，我們訪問結點時，如果已經到了要修改的結點（區間長度為1且已經到達目標位置），就將其值修改，否則，向它的子結點遞迴，在回溯時隨便更新自己結點的值。

首先看乙個pushup函式，用於更新當前結點的值。

void pushup(int root)

這個函式把子結點的值累加到當前結點上。由於使用了陣列，子結點可以不用進行特判是否存在，直接累加即可。

遞迴過程中，區間會不斷縮小，最後長度會變為$1$，即為乙個點，如果這個點和要修改的點重合，就可以修改了。時間複雜度為$o(log_n)$。

void modify(int root, int left, int right, int pos, t key)
int mid = left + right >> 1;
modify(root << 1, left, mid, pos, key);
modify(root << 1 | 1, mid + 1, right, pos, key);
pushup(root); // 更新區間和
}

現在有了單點修改，但對於乙個初始好的序列，單點修改顯然不太方便，並且時間複雜度會過大（然而有時還是可以過）。所以我們也有一種方法快速構建線段樹，並用乙個序列初始化。

void build(int root, int left, int right, t arr) 
int mid = left + right >> 1;
build(root << 1, left, mid, arr);
build(root << 1 | 1, mid + 1, right, arr);
pushup(root); // 更新區間和
}

如果區間長度為$1$，則直接初始化，否則進行遞迴，回溯時`pushup`。時間複雜度為$o(n)$。只要在遞迴是進行區間的判斷，如果查詢的位置$pos \leq mid$，則向左子樹遞迴，否則向右子樹遞迴。

t query(int root, int left, int right, int pos) 
int mid = left + right >> 1;
if(pos <= mid) return query(root << 1, left, mid, pos); // 在左邊
else return query(root << 1 | 1, mid + 1, right, pos); // 在右邊
}

如果使用單點修改來實現區間修改，時間複雜度就會達到$o((right-left+1)nlog_n)$。所以，我們需要引入懶標記。在結點上加上懶標記就可以快速修改區間。

舉個例子：

我們有乙個維護了區間為$[1,8]$的線段樹，我們要給這個區間加上數$v$，有兩種方法：

很顯然，第二種效率更高。這就是懶標記。

懶標記可以是加的標記，也可以是乘的標記，只要滿足分配律，就可以使用懶標記。但是如果是開根號等等的操作就不可以，因為$\sqrt \neq \sqrt + \sqrt$。

對於目前的線段樹，我們需要修改結點的結構體：

template class segmenttree 
tree[lim];
int size;
// ...
};

修改可以分為這幾個情況：

然後更新當前結點。

但這裡有乙個問題，如果我們修改時經過乙個已經打過懶標記的結點，就無法正確更新區間和。這時候就需要標記下傳了。在修改區間之前，首先標記下傳，使子結點的區間和也更新，這樣就能得到正確答案了。

void update(int root, int left, int right, t key) 
void pushdown(int root, int left, int right)

再根據上面講解，我們可以得出以下區間修改**。

void modify(int root, int left, int right, int mleft, int mright, t key) 
int mid = left + right >> 1;
pushdown(root, left, right);
if (mleft <= mid) // 如果修改區間被左邊包含，則往左邊區間遞迴
modify(root << 1, left, mid, mleft, mright, key);
if (mid < mright) // 如果修改區間被右邊包含，則往右邊區間遞迴
modify(root << 1 | 1, mid + 1, right, mleft, mright, key);
pushup(root); // 更新
}

與區間查詢類似，也需要進行標記下傳。

查詢可以也可以分為這三個情況：

最後累加左右子樹區間和。

t query(int root, int left, int right, int qleft, int qright)

```cpp

template class segmenttree

void build(t arr) 
void modify(int left, int right, t key) 
t query(int left, int right)

private:

struct node

tree[lim];

int size;

void pushup(int root) 
void update(int root, int left, int right, t key) 
void pushdown(int root, int left, int right) 
void build(int root, int left, int right, t arr) 
int mid = left + right >> 1;
build(root << 1, left, mid, arr);
build(root << 1 | 1, mid + 1, right, arr);
pushup(root);
}void modify(int root, int left, int right, int mleft, int mright, t key) 
int mid = left + right >> 1;
pushdown(root, left, right);
if (mleft <= mid)
modify(root << 1, left, mid, mleft, mright, key);
if (mid > mright)
modify(root << 1 | 1, mid + 1, right, mleft, mright, key);
pushup(root);
}t query(int root, int left, int right, int qleft, int qright)

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