資料結構之線段樹

一、引例

有m個數排成一列，做n次操作，每次操作包括：

（1）詢問指定區間的最大值、最小值

（2）將指定區間的每個數加上乙個值

如果按照最樸素的做法，乙個個的遍歷，時間複雜度：o(mn)。

那麼如何解決乙個區間求和（最大值，最小值）的問題呢？那麼就要用到線段樹啦。

二、定義

線段樹是一種二叉搜尋樹，與區間樹相似，它將乙個區間劃分成一些單元區間，每個單元區間對應線段樹中的乙個葉結點。

主要用來解決區間查詢、區間修改，使用線段樹可以快速的查詢某乙個節點在若干條線段中出現的次數，基本保證每次操作的時間複雜度為o(logn)。

三、實際應用

a.單點更新

struct node
tree[maxn<<2];

2.更新

void maintain(int root)//更新根節點為左右子結點的和

3.遞迴建樹

遇到葉子節點直接賦值，否則遞迴遍歷左右建樹，最後回溯即可。

void build(int root,int begin,int end)//樹的結點編號 左端點下標 右端點下標
int mid=(begin+end)>>1;
build(root<<1,begin,mid);//更新左子樹
build(root<<1+1,mid+1,end);//更新右子樹
maintain(root);//儲存左右子樹的和
}

4.單點更新

將一條線段[a,b] 插入到代表線段[l,r]的結點p中，如果p不是元線段，那麼令mid=（l+r）/2。如果b＜mid，那麼將線段[a,b] 也插入到p的左兒子結點中，如果a>mid，那麼將線段[a,b] 也插入到p的右兒子結點中。

void update(int root,int pos,int num)
//根結點編號 欲修改值的下標 期待的值
int mid=(tree[root].left+tree[root].right)>>1;
if(pos<=mid)
update(root<<1,pos,num);
else
update(root<<1+1,pos,num);
maintain(root);//每次都要更新根節點
}

5.求和操作

int query(int root,int begin,int end)//求和
int mid=(tree[root].left+tree[root].right)>>1;
if(end
<=mid)
ans+=query(root<<1,begin,end);
else
if(begin>=mid+1)
ans+=query(root<<1+1,begin,end);
else
return ans;
}

b.區間更新（成段更新）

比如從[1,10]每個結點的值都+1，普通單點更新就會超時。

*區間更新：

指更新某個區間內的葉子節點的值，因為涉及到的葉子節點不止乙個，而葉子節點會影響其相應的非葉父節點，那麼回溯需要更新的非葉子節點也會有很多，如果一次性更新完，操作的時間複雜度肯定不是o(lgn)，例如當我們要更新區間[0,3]內的葉子節點時，需要更新出了葉子節點3,9外的所有其他節點。為此引入了線段樹中的延遲標記概念，這也是線段樹的精華所在。

*延遲標記：

因為更新的數很多，所以我每一步的更新不接著算出來，等到最後需要的時候再去取消標記算出來。

比如現在需要對[a,b]區間值進行加c操作，那麼就從根節點[1,n]開始呼叫update函式進行操作，如果剛好執行到乙個子節點，它的節點標記為rt，這時tree[rt].l == a && tree[rt].r == b 這時我們可以一步更新此時rt節點的sum[rt]的值，sum[rt] += c * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，注意關鍵的時刻來了，如果此時按照常規的線段樹的update操作，這時候還應該更新rt子節點的sum值，而lazy思想恰恰是暫時不更新rt子節點的sum值，到此就return，直到下次需要用到rt子節點的值的時候才去更新，這樣避免許多可能無用的操作，從而節省時間。

用lazy標記，等到當前區間比我需要的目標區間大的時候，我必須用到下面的值了，必須往下修改了，這時候，我們就把之前堆積起來的懶惰標記pushdown了，於是就有了乙個神奇的pushdown操作。

其他的建樹什麼的和單點更新一樣，只是多了lazy標記和pushdown。

void pushdown(ll root)  //向下傳遞lazy標記 
}

c.區間合併

不過還沒做過這方面的題qaq

參考部落格

很有趣很好懂

很官方很全面

來做題吧超全

ps：之前看過，今天再看像重新學了一遍(>_<)

今天距離省賽過去已經乙個星期了，該調整回來了。

還是不夠強，繼續修煉吧qaq。

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