在一些動態規劃中狀態轉移方程是這樣的：
$m[i,j]=\min_\left \$
顯而易見，這種方法的時間複雜度是$o(n^)$，如何去優化呢？
四邊形不等式
通過四邊形不等式的優化，可以進一步限定$k$的範圍，從而可以將事件複雜度降為 $o(n^)$，我們最終的目的是證明決策變數$k$的單調性
此優化方法由姚期智的夫人儲楓(frances yao)所寫，我看的有點懵
價值函式$c[i][j]$
$c[b,c]\leq c[a,d],\left \ \dots \dots\dots(1)$
滿足公式(1)，則說明價值函式$w[i][j]$滿足區間單調性
$c[a,c]+c[b,d]\leq c[b,c]+c[a,d],\left \ \dots \dots\dots(2)$
滿足公式(2)，則說明價值函式$w[i][j]$滿足四邊形不等式
狀態轉移函式$m[i][j]$
假如有$w[i][j]$同時滿足公式(1)、(2)，我們可以得到這裡的$m[i][j]$也滿足四邊形不等式，即：
$m[a,c]+m[b,d]\leq m[b,c]+m[a,d],\left \ \dots \dots\dots(3)$
**中是用數學歸納法證明的，相關參考證明過程可參考**
這裡給出我的一種理解，用分析法來思考問題，有可能會不嚴謹。
對於$m[i][j]$假如我們每次選最優的$k$不斷向下拆解，即$m[i][j]=m[i][k-1]+m[k][j]+c[i][j]$，直到拆解成$m[i][i]$
那麼對於兩邊的$c$陣列我總能用公式(2)得到不等式的關係，而$m[i][i]$為0，這樣公式(3)就是滿足的
決策變數的單調性
我們用$k[i,j]$表示$m[i][j]$取得最小值時的決策值
當狀態轉移函式$m[i][j]$滿足(3)的時候，我們有：
$k[i,j-1]\leq k[i][j]\leq k[i+1,j] \dots \dots\dots(4)$
根據對稱性只需要證明$k[i,j-1]\leq k[i][j]$，假設$x=k[i,j-1]$，對任意$i < y\leq x\leq j-1
$m[y,j-1]+m[x,j] \leq m[y,j]+m[x,j-1],\left \$
不等式兩側同時加上：
$w[i,j-1]+w[i,j]+m[i,x-1]+m[i,y-1]$
然後有：
$m_[i,j-1]+m_[i,j] \leq m_[i,j]+m_[i,j-1]$
因為：$m_[i,j-1] \leq m_[i,j-1]$
所以：$m_[i,j] \leq m_[i,j]$
從而可以確定$k[i][j]$不可能小於$x$，也就是說$k[i,j-1] \leq k[i,j]$
refence:
四邊形不等式優化
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