\(\sum\limits_^n i^3 = (\sum\limits_^n i)^2\)
構造乙個矩陣 \(a\) $$1\space 2\space 3\space 4\space 5 \ 2\space 4\space 6\space 8\space 10 \ 3\space 6\space 9\space 12\space 15 \ 4\space 8\space 12\space 16\space 20 \ 5\space 10\space 15\space 20\space 25$$
（這個矩陣還可以往右下無限延伸，這裡限於篇幅就寫這麼多）
對於左上角 \(n\times n\) 個數的和，有兩種不同的求法。兩種求法對應了標題中的等號兩側。
首先有反 l 字形求和公式：$$\begin &\sum\limits_^x a_ + \sum\limits_^ a_ \nonumber \ = &x\times [1+2+3+\cdots +x+(x-1)+(x-2)+\cdots +1] \nonumber \ = &x\times x^2 \nonumber \ = &x^3 \nonumber \end$$
故左上角 \(n\times n\) 個數的和就是 \(\sum\limits_^n x^3\)
然後有一行求和公式，即第 \(i\) 行的和為 \(i\times (1+2+\cdots +n)\)
故左上角 \(n\times n\) 個數的和也是 \((1+2+\cdots +n)\times (1+2+\cdots +n) = (\sum\limits_^n i)^2\)
q.e.d
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