1、前言
又開始一年一度的組合數學課了。去年這個時候我可以說是一句話都沒聽懂，如今一年過去了，雖然高一已經過去了，然並卵啊！三個小時，學完了排列組合，函式極限，導數，微分，定積分與不定積分，我要去問問數學組的學了多久。。。所以只能課後再來吃點補品了。
2、函式變化率
任何函式，均存在自己的變化率。變化率並不是變化，所以不帶單位。如圖所示，觀察其中的△y。
當x=0->1，函式y值增加了△y=f[1]-f[0]=4，則此時的變化率為：△y/△x=4/1=4；
當x=1->2，函式y值增加了△y=f[2]-f[1]=1，則此時的變化率為：△y/△x=1/1=1。
可以看出，隨著x值的增大，函式的變化率減小。
3、函式極限
聯絡物理高一必修一知識，不禁會思考：我們在計算乙個運動物體的速度的時候，顯然只能求出某一時間段的平均速度，書上所寫的概念是，當△t足夠小時就是瞬時速度。足夠小是多小？現在我們來做乙個實驗。存在乙個物體，它的位移公式為：h[i]=-4.9t^2-13.1t。假設需要求出t=2時的瞬時速度。我們先考慮t=2附近的情況，任意取乙個時刻2+△t，△t是時間變化量，現在分為△t<0和△t>0兩種情況討論：
當△t<0時，v=(h[2]-h[2+△t])/(2-(2+△t))=(4.9△t^2+13.1△t)/-△t=-4.9△t-13.1；
當△t=-0.01時，v=-13.051；當△t=-0.001時，v=-13.0951；
當△t=-0.0001時，v=-13.09951；當△t=-0.00001時，v=-13.099951；
當△t=-0.000001時，v=-13.0999951；當△t=-0.0000001時，v=-13.09999951；
當△t<0時，v=(h[2+△t]-h[2])/((2+△t)-2)=(-4.9△t^2-13.1△t)/△t=-4.9△t-13.1；
當△t=0.01時，v=-13.149；當△t=0.001時，v=-13.1049；
當△t=0.0001時，v=-13.10049；當△t=0.00001時，v=-13.100049；
當△t=0.000001時，v=-13.1000049；當△t=0.0000001時，v=-13.10000049。
我們發現，當△t趨近於0時，v都趨近於乙個確定的值-13.1。因此，我們可以確定，當t=2時，物體的瞬時速度為-13.1m/s。
而通常，標準的寫法為：
表示，「當t=2，△t趨近於0時，平均速度v趨近於確定值-13.1」。
4、導數的概念
一般地，函式y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率為：
我們稱其為函式y=f(x)在x=x0處的導數，記作f'(x0)或y'|x=x0，即：
5、導數的幾何意義
首先確定一條過原點的二次函式線y=f(x)，取線上任意一定點為p，作其切線，另取線上任意一點為pn，連線ppn。移動pn，如圖所示：
我們發現，當點pn趨近於p時，割線ppn趨近於切線pt。首先容易知道，割線ppn的斜率為：
由於ppn無限趨近於pt，同樣地，kn也將趨近於pt的k值。設△x=x(pn)-x(p)，函式f(x)在點p處的導數就是切線pt的斜率k，即：
6、基本導數公式和運算法則
在清楚了幾何意義和物理意義之後，就是計算的問題了。由上文可以得知，求最簡形式函式的導數，直接將y代入就行了，下面直接列舉些最基本函式的導數。
<1> y=f(x)=c (c∈n*) ==> y'=0;
<2> y=f(x)=x ==> y'=1;
<3> y=f(x)=x^2 ==> y'=2*x;
<4> y=f(x)=x^a ==> y'=a*x^a-1;
<5> y=f(x)=a^x ==> y'=a^x * ln a;
<6> y=f(x)=e^x (e≈2.719) ==> y'=e^x;
<7> y=f(x)=loga x ==> y'=1/x*ln a;
<8> y=f(x)=ln x ==> y'=1/x.
對於兩個函式加減問題，存在如下三條運算法則：
<1> [f(x)±g(x)]'=f'(x)+g'(x);
<2> [f(x)*g(x)]'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x);
<3> [f(x)/g(x)]'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g(x)^2 (g(x)!=0).
從法則<2>中可以延伸出，常數與函式的積的導數，等於常數乘函式的導數，即[c*f(x)]'=c*f'(x)。舉乙個例子來體現運算法則：
求函式y=x^3-2x+3的導數。
解：y'=(x^3-2x+3)'
=(x^3)'-(2x)'+3'
=3x^2-2.
答：函式y=x^3-2x+3的導數為y'=3x^2-2。
7、小結
這些東西以後遲早會學的，所以現在看看也無妨。後面的話，還將談談微分，定積分，不定積分等內容。
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