臨項交換法在貪心演算法中的應用

我們給出乙個高中常見的排序不等式：

對 \(a_1\leq a_2\leq ...... \leq a_n\) 且 \(b_1 \leq b_2 \leq ...... \leq b_n\)，

設\(a_,a_, ...... ,a_},a_\)是數列\(\left\\)的乙個隨機排列，

那麼有如下不等式成立：

\[a_nb_1+a_b_2+......+a_nb_1\leq a_b_1+a_b_2+......+a_b_n\leq a_1b_1+a_2b_2+......+a_nb_n

\]即逆序和 \(\leq\) 亂序和 \(\leq\) 順序和

其證明可以通過臨項交換法進行：

對於順序和，隨機挑選\(i,j(i兩項進行交換，即將\(a_ib_i+a_jb_j\)交換為\(a_ib_j+a_jb_i\)。

那麼\[(a_ib_i+a_jb_j)-(a_ib_j+a_jb_i)=(a_j-a_i)(b_j-b_i)\geq 0

\]可以說明對於順序和，任意選擇兩項進行交換都不會使得值更大

將其進行推廣，可以得出順序和最大

同理，對於逆序和，任意選擇兩項交換都不會使得值更小，推廣後得到逆序和最小

這樣我們便證明了上述結論

上述證明的核心在於臨項交換法：對乙個按某種順序排列的序列，證明任意兩項交換後都不會使得答案更優，則該順序排列是最優解，或者說，當兩項按某種順序排列後最優，大概率可以推廣到\(n\)項。這種方法常常用於以排序為基礎的貪心題的證明。

鏈結本來這個題目是藍題的，結果因為太經典，做的人太多，已經變成綠題了就離譜

思路記皇帝是第0個人，第\(i\)個人所得金幣數量為\(v_i\)，那麼有

\[v_i=\frac^a_k}

\]我們的目標是使得\(ans=max\left\\)最小

臨項交換：我們先按某種方式進行排序，隨後隨意抽取相鄰兩項\((i,i+1)\)嘗試交換。

原本答案為\(ans=max(ans0,\frac^a_k},\frac^a_k}})\)

交換後變為\(ans=max(ans0,\frac^a_k}},\frac^a_k)*a_})\)

那麼我們比較一下\(\frac^a_k}}\)和\(\frac^a_k)*a_}\)的大小即可

約去公因式，即比較\(\frac}\)和\(\frac}\)即可

當\(a_ib_i\leq a_b_\)時，此時\(ans1\)不會大於\(ans2\)，無需交換，否則交換後可以使答案不會變差（甚至變優）

那麼我們就得到了乙個排序思路：以\(a_ib_i\)作為排序依據，從小到大排序即可

**略，洛谷題解挺多的了（這題好像還要寫一下高精度才能完全ac）

1.2023年河海acm選拔賽低年級組h題刷題狂魔

可以看下我前面寫的部落格

2.洛谷p1012 拼數

臨項交換法：把\(n\)個數字按照字串讀入，按某一順序排列，嘗試將相鄰兩項\((a,b)\)進行交換，可以發現當\(a+b\geq b+a\)（注意，這裡時按照字串方式進行加減，類似於拼接，而不是算術加法）時無需交換，反之交換後可以使得答案更優。**如下：

#includeusing namespace std;
string a[21];
bool cmp(string a,string b)
int main()