CDQ 分治總結

特別基礎的教程略。

\(cdq\)分治的優缺點：

( 1 )優點：**量少，常數極小，可以降低處理維數。

( 2 )缺點：必須離線處理。

分治到達\([l,r]\)時，分治處理\([l,mid]\)與\([mid+1,r]\)

然後遞迴上來合併的時候：

只考慮 [l,mid]中元素 對 [mid+1,r] 中元素的影響

只要是滿足這個原則的分治，都是可以稱作\(cdq\)分治的。

下面給出幾個例子，都是為了理解這句話：

給定長度為\(10^5\)的乙個序列，有一下兩種操作：

（1）type=1：x val ,把序列第x位置的元素加上val

（2）type=2：x y , 求解[x,y]元素值的和

如果用\(cdq\)分治呢？(雖然非常非常沒有必要).

我們把求解\([x,y]\)元素之和拆分為求字首和\(pre[y]-pre[x-1]\)。

那麼會對\(pre[x]\)產生影響的為：操作時間在其之前，修改位置\(\leq x\)的修改操作。

建立二元組\((time , x)\)，外部以time排序，然後分治。

分治時，每次以\(x\)歸併排序,

合併\([l,mid]\)與\([mid+1,r]\)時，統計\([l,mid]\)有幾個修改操作。

那麼如果在\([mid+1,r]\)碰到了修改操作，自然此時的統計數即為答案。

注意到上面：只統計[l,mid]的修改，只計算[mid+1,r]的答案。

這就是\(cdq\)分治的關鍵所在，因為這樣統計可以做到不重不漏，**見這裡。

三維偏序問題：

給定\(n\)個元素，每個元素有三個屬性\(a,b,c\)。

定義\(f(i) = \sum_^n [i!=j]\times [a_j

試計算\(f(1),f(2),...f(n)\)，資料範圍 \(n \leq 10^5\)。

先確定分治原則：

建立三元組\((a,b,c)\)，外部先按照\(a\)排序，消除\(a\)的影響。

然後分治內部以\(b\)為準則進行歸併。此時我們保證了\(a_j與\(b_j

第三維\(c_j怎麼辦？用以\(c\)值建立權值樹狀陣列維護即可。

具體流程為：

（1）遞迴處理\([l,mid]\)與[mid+1,r]；

（2）以\(b\)為準則歸併，其中：

（ 2>1 ）若為\([l,mid]\)元素，將其\(c\)值插入權值樹狀陣列

（ 2>2 ）若為\([mid+1,r]\)元素，在權值線段樹中查詢小於其\(c\)值的元素個數。

（3）回溯;

如果偏序原則中為\(\leq\)即可，那麼需要先去重。具體**見這裡

乙個非常大的誤區：\(cdq\)分治一定要歸併或邊歸併邊處理。

這其實是不對的，上面說過，只要滿足\(cdq\)分治原則就可以稱為\(cdq\)分治。

所以\(cdq\)分治的寫法其實是多重多樣，甚至不拘一格的。

\(cdq\)分治中的乙個難點就是確定分治原則。

在我們分治前，我們會確定元素的分治多元組。

分治多元組的確定關鍵是看分治中對答案的影響因素。

下面給兩個非常經典的例題：

序列初始為空，接下來每次會在指定位置\(i\)插入乙個元素\(x\)

求每次插入後，序列中的逆序對個數。

保證插入元素的值不重複，資料範圍\(n \leq 10^5\)

外部以\(time\)進行排序，消除\(time\)的影響。

然後內部以\(pos\)為原則進行歸併，然後怎麼處理呢？

考慮一下元素對答案的影響：

每次新增的點對此時答案的貢獻為：

（1）插入時間比它早，位置在它前面，值比它大的元素。

（2）插入時間比它早，位置在它後面，值比它大的元素。

所以我們先以\(pos\)從小到大歸併排序好。

然後從前往後正著掃一遍，

如果元素的\(time \leq mid\)，那麼在樹狀陣列中插入它的\(val\)。

如果元素的\(time > mid\)，那麼在樹狀陣列中查詢大於它的\(val\)的元素個數，加入答案。

然後再從後往前倒著掃一遍，處理方法一樣。

這樣我們最後就得到了每加入乙個元素新增的貢獻數，最後統計一下答案即可。

具體**戳我。

給定乙個大小為\(n*n\)的矩陣，初始每個格仔元素都為\(0\)

一共有\(10^5\)個操作，操作如下：

（1）type=1：x y val ,把(x,y)位置的元素加上val。

（2）type=2：x1 y1 x2 y2, 查詢(x1,y1)到(x2,y2)這個矩形的元素和。

由二維變為三維，怎麼做呢？ 其實差不多。

二維字首和之類的略，自己\(yy\)，然後：

建立三元組\((time , x , y)\)

會影響詢問答案的為：操作時間早於其，x、y都小於等於它x、y的修改操作

所以外部以\(time\)排序，然後以\(x\)為原則歸併。

歸併的時候，如果是左邊區間的修改操作，把其修改值\(val\)值插入樹狀陣列中的\(y\)位置。

如果是右邊的查詢操作，查詢樹狀陣列中小於等於其\(y\)值的元素值之和。

這題做完了......

首先我們考慮三維偏序的解決方法：

外圍排序三元組變為\([l,b,c]與[r,b',c']\)，然後歸併變為\([l,l,c]與[r,r,c']\)

所以此時只需要在樹狀陣列中查詢\(c\)了。

那麼四維是不是類似呢？

首先外圍排序，四元組變為\([l,b,c,d]與[r,b,c,d]\)

然後我們先以\(b\)為原則歸併，但是並不統計答案。

此時我們要記錄歸併好的序列中每乙個元素的\(a\)是屬於\(l\)還是\(r\)。

那麼此時只有\(b\)是有序的，\(a\)雖然無序但是我們記錄了其**（順序）。

即此時的四元組為\([l/r,l,c,d]\)與\([l/r,r,c',d']\)

此時把這個新的序列帶入下一層\(cdq\)中再跑一遍，不就是三維偏序的處理嗎？

但是這裡注意，為了保證\(a\)的順序，只有\([l,l,c,d]\)與\([r,r,c',d']\)的元素才是合法的。

這個也非常好解決，第一層\(cdq\)歸併時對每個元素打乙個標記即可。

具體的**見這裡

這裡提個醒，用巢狀\(cdq\)解決\(n\)維偏序問題的複雜度是\(o(n\ log^n)\)的。

其實搞懂了四維偏序的解決方法後，五維、六維....不是一樣的嗎？

四維時我們打了一層標記，消除了一維的影響，最終變為了三維偏序問題。

那麼\(n\)維我們則先歸併\(n-3\)遍，打\(n-3\)層標記。

這樣一共消除了\(n-3\)維的影響，然後再跑三維偏序即可。

實現五維偏序的具體**見這裡。

（1）luogu p3374 【模板】樹狀陣列 1

（2）bzoj 3262陌上花開

（3）[shoi2007]tree 園丁的煩惱

（4）[cqoi2011]動態逆序對

（5）[hzoi 2016]偏序

（6）[hzoi 2015]改:偏序 ii

（7）[boi2007]摩基亞mokia

（8）bzoj 4237 稻草人

（9）[noi2007]貨幣兌換cash

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