解析函式
解析函式的概念
如果函式f(z)
不僅在z0
處可導，而且在
z0的某個鄰域內的任一點可導，則稱
f(z)在z0
解析。如果函式
f(z)
在區域d
內任一點解析，則稱
f(z)
在區域d
內解析。
由定義知，函式在區域d
內解析與在區域
d內可導是等價的。但函式在一點解析與在該點可導是絕對不等價的。
調和函式
調和函式的概念
設二元實變數函式h(x,y)
在區域d
內具有連續的二階偏導數，並且滿足拉普拉斯方程
hxx(x,y)+hyy(x,y)=0，
則稱函式h(x,y)為d
內的調和函式。
設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是區域d
內的解析函式，那麼
u(x,y)
和v(x,y)均為d
內的調和函式。
事實上，因為f(z)
在區域內解析，那麼
f`(z)=ux+ivx=vy-iuy
在區域d
內解析的函式在
d內具有任意階導數。
設函式u(x,y)
和v(x,y)都是d
內的調和函式，而且它們的一階偏導數滿足柯西
--黎曼方程，則稱
v(x,y)
為u(x,y)
的共軛調和函式。
顯然，函式f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域d
內解析的必要與充分條件為v是
u的共軛調和函式。
值得注意的是，若v是u
在d內的共軛調和函式。一般地，v在
d內的共軛調和函式是
-u，而不是u。
關於調和函式的一些性質
以下均為10年前討論的一些內容，或者更早一些。問題1.考慮調和函式 delta u 0 mbox r n n geq2 且 u x geq 1 x in r n 其中 alpha in 0,1 證明 u 必為常數。證明 1 考慮直接對 u inf limits u 在 b r 上使用harnack ...
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