Luogu P3376 模板 網路最大流

傳送門

noip之前，我絕對不學網路流。

——我

解決這類問題的一種演算法叫做$dinic$。

一些性質

對於任意乙個時刻，設c(u,v)為容量，f(u,v)為實際流量，則整個圖g的流網路滿足3個性質：

原理

假設存在乙個有一些流但沒有達到最大流的網路，如果能找到一條路徑，使總流量增加，這樣的路徑被稱為增廣路。

反過來說，如果圖中不存在增廣路，那麼這一定是網路最大流。

$dinic$演算法就是乙個不斷尋找增廣路的過程。

然而，這個結論可以很容易舉出反例：

這是這個網路中的流的一種方式。它已經沒有增廣路了，但是，顯然，它不是最優的。

那麼，假設程式已經選擇了這種方式，應該怎麼辦？這時候就需要引入反向邊的概念。

一條正常的邊流了多少，它的反向邊的容量就增加多少。

反向邊初始容量為0。

那麼，加上反向邊，就得到了這樣的一張圖：

在這張圖上再次尋找增廣路，可以得到

這樣就得到了最大流。它和這樣的流的方式是等價的

不難發現，反向邊的作用就在於使流錯了的邊再流回去。

實現

$dinic$演算法的流程可以概括為：

bfs檢查是否有增廣路。若沒有，則已達到最大流，程式結束。

dfs找到一條增廣路，將增加的流量計入答案。

返回1。

需要定義這些變數：

int dis; //

從源點到這一點的距離（經過的邊數）
int cur; //
走到這一點後，下乙個可能找到增廣路的邊

$dinic()$

根據上述流程，可以得到這樣的**

void

dinic() 
}

想要找到增廣路，需要檢查每一條邊剩餘的容量w[i]能不能組成一條從s到t的通路。

在尋找的過程中，可以處理出最短路，即使找到了t，也不退出while迴圈。

和普通的$bfs$類似，首先將所有點到源點s的距離dis設定為-1，表示未訪問過。

源點s本身的dis設定為0，並將s壓入佇列q。

每次彈出隊首，檢查它所連的邊能到達的每乙個點v。

若v未被訪問過，且(u,v)還有剩餘的流量(dis[v] == -1 && w[i])，說明(u,v)是一條可行的道路，將v壓入佇列。

如果搜尋到了匯點t（dis[t]≠-1）

，說明有增廣路，返回true。否則返回false。

bool

bfs() }}
if(dis[t] == -1) return
false
;    
return
true
;}

dfs中每次傳遞兩個變數：當前點u，當前流flow。用sum記錄找到的增廣路的總量。

檢查u所連的邊能到達的每乙個點v。

for(int

&i = cur[u]; i != -1

; i = nxt[i])

注意，高亮部分和平時有一點不同，

可以每次使到達的點的cur[u]改為nxt[i]。

也就是說，如果我們已經試過了這條邊，那麼它在這次搜尋中一定不會再次成為增廣路了。

下一次經過這一點時，直接從它的下一條邊nxt[i]開始嘗試即可。

這樣可以比head→nxt→nxt→……節省一些時間。

在$dinic()$中，每次$bfs$後，將cur的初始值設定為head。

這個操作叫做當前弧優化。

遞迴$dfs$點v。如果邊(u,v)的剩餘流量w[i]小於當前流量flow，那麼最多就只能流w[i]而不是flow，

下傳的flow應該改為w[i]，即dfs(v,min(flow,w[i]))。

如果找到匯點t，則說明找到了一條增廣路，當前的flow則為增廣的流量。回溯，

記這個返回值為ff。

u之前的點的剩餘容量都減小了ff，即flow -= f；總流量sum增加ff。

同時，當前邊的容量w[i]減小ff，反向邊的容量w[i^1]增加ff。

如果flow減ff等於0了，那麼就可以跳出for迴圈。

注意，在建邊時，如果從偶數開始，那麼i的反向邊就可以用i^1表示。

例如，第一條邊0，反向邊1；第二條邊2（10），反向邊3（11）。

當然，所有head的初值就要設定為-1；在for迴圈列舉邊時，邊界條件就為i != -1。

最後返回sum。

int dfs(int u,int

flow)
}if(!sum) dis[u] = -1
;    
return
sum;
}

完整**如下

#include#include

#include
#include
#include
#define mogeko qwq
using
namespace
std;
const
int maxn = 2e5+10
;const
int inf = 0x3f3f3f3f
;int
n,m,s,t,x,y,z,ans,cnt;
inthead[maxn],to[maxn],nxt[maxn],w[maxn];
intcur[maxn],dis[maxn];
void add(int x,int y,int
z) bool
bfs() }}
if(dis[t] == -1) return
false
;    
return
true;}
int dfs(int u,int
flow) 
}if(!sum) dis[u] = -1
;    
return
sum;
}void
dinic() 
}int
main() 
dinic();
printf("%d
",ans);
return0;
}

luogu P3376 模板 網路最大流

如題，給出乙個網路圖，以及其源點和匯點，求出其網路最大流。輸入格式 第一行包含四個正整數n m s t，分別表示點的個數 有向邊的個數 源點序號 匯點序號。接下來m行每行包含三個正整數ui vi wi，表示第i條有向邊從ui出發，到達vi，邊權為wi 即該邊最大流量為wi 輸出格式 一行，包含乙個正...

Luogu P3376 模板 網路流 最大流

如題，給出乙個網路圖，以及其源點和匯點，求出其網路最大流。輸入格式 第一行包含四個正整數n m s t，分別表示點的個數 有向邊的個數 源點序號 匯點序號。接下來m行每行包含三個正整數ui vi wi，表示第i條有向邊從ui出發，到達vi，邊權為wi 即該邊最大流量為wi 輸出格式 一行，包含乙個正...

luogu3376 模板 網路最大流

題目描述 如題，給出乙個網路圖，以及其源點和匯點，求出其網路最大流。輸入輸出格式 輸入格式 第一行包含四個正整數n m s t，分別表示點的個數 有向邊的個數 源點序號 匯點序號。接下來m行每行包含三個正整數ui vi wi，表示第i條有向邊從ui出發，到達vi，邊權為wi 即該邊最大流量為wi 輸...