CSP2019 劃分 解題報告

[csp2019] 劃分

有 \(n\) 個非負整數 \(a_i\)

\(( n \le 4 * 10^7)\), 將它們分為若干部分, 記為 \(s_i\), 要求 \(s_ \ge s_i\),

設 \(res=\sum_^ s_i^2\).

求 \(res\) 的最小值

考場上寫的做法.

設 \(f[i][j]\) 為第一段的起點為 \(i\), 終點為 \(j\) 時 \(res\) 的最小值.

樸素做法直接列舉 \(i,j,k\), 將 \(f[i][j]\) 從 \(f[j][k]\) 轉移過來.

優化:考慮中間的轉移點 \(j\), 對於每個 \(i, 合法的 \(k\) 的範圍是遞增的, 所以可以只列舉 \(i,j\) 然後指標 \(k\) 根據 \(sum_j-sum_\) 不斷忘前移, 並取最小值更新即可.

設總共有 \(k\) 個塊, 可以得出兩個性質.

性質 1: \(k\) 越大, 方案越優.

感性理解 : \(a^2+b^2 \le (a+b)^2\).

進一步推斷出,

性質 2: \(s_k\) 越小, 方案越優.

感性理解 : \(s_k\) 越小, 為了使得方案合法, 就強迫前面的 \(s\) 也要盡量地小, 由於 \(a\) 是非負整數, 所以 \(s\) 的值越小, \(k\) 就越大, 根據性質 1, 方案就越優.

這樣的話我們就可以維護乙個單調佇列, 對於每一位, 找到以它為結束點時, 最小的 \(s_k\).

在把新元素加入單調佇列時還有一些細節, 詳見**.

上面的做法加個高精 (高精這種東西早就忘光了好嗎...)

#include#define ll long long

using namespace std;
const int n=5e3+7;
const ll inf=5e18;
int n,ty;
ll a[n],sum[n],f[n][n],ans=inf;
void read()
ll p2(ll x)
int main()
memset(f,127,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++) f[i][n]=p2(sum[n]-sum[i-1]);
for(int j=n;j>=1;j--)
f[i][j]=min(f[i][j],minx+p2(sum[j]-sum[i-1]));
}}  for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,f[1][i]);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

#include#define ll long long

using namespace std;
const int n=4e7+7;
int n,ty,pre[n],que[n],t1,t2;
ll a[n],sum[n],lst[n],ans;
void read(){};
ll p2(ll x)
int main()
t1=t2=1;
que[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
int p=n;
while(p)
//     for(int i=1;i<=n;i++) printf("pre[%d]: %d\n",i,pre[i]);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

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