洛谷P5665 CSP2019 劃分

2021-09-30 00:11:10 字數 3114 閱讀 8173

洛谷p5665

對於每乙個斷點，最後一段的和在所有合法解中都是最小的。

顯然滿足條件的解是唯一的。

構造序列 b

bb， 其中 b

ib_i

bi​ 表示滿足條件的解中倒數第 i

ii 段的和，並在序列 b

bb 的末尾補上無限個 000。

現在我們需要證明對於任意乙個不滿足條件的解，用同樣的方法構造出序列 c

cc，都有 ∑i=

1∞bi

2<∑i

=1∞c

i2

\sum \limits_^ b_i ^2 < \sum \limits_^ c_i^2

i=1∑∞​

bi2​

1∑∞​

ci2​

。其中已知條件是 ∑i=

1∞bi

=∑i=

1∞ci

\sum \limits_^ b_i = \sum \limits_^ c_i

i=1∑∞​

bi​=

i=1∑

∞​ci

​ 且 ∀i≥

1,bi

≥bi+

1,ci

≥ci+

1,∑j

=1ib

j≤∑j

=1ic

j\forall i \ge1, b_i \ge b_, c_i \ge c_, \sum \limits_^b_j \le \sum \limits_^ c_j

∀i≥1,b

i​≥b

i+1​

,ci​

≥ci+

1​,j

=1∑i

​bj​

≤j=1

∑i​c

j​。找到第乙個滿足 b

u

b_u < c_u

bu​​ 的 u

uu，顯然 u

uu 一定存在。

由 ∑ i=

1∞bi

=∑i=

1∞ci

\sum \limits_^b_i = \sum \limits_^ c_i

i=1∑∞​

bi​=

i=1∑

∞​ci

​ 可知：一定可以再找到乙個 v

vv，滿足 v

>

uv > u

v>

u 且 b

v>cv

b_v > c_v

bv​>cv

​。由序列 b

bb 的不上公升性質可知：cu≥

cv+2

c_u \ge c_v + 2

cu​≥cv

​+2。

從 u

uu 開始，從左往右找到第乙個 x

xx 滿足 c

x>cx

+1

c_x > c_

cx​>cx

+1​；從 v

vv 開始，從右往左找到第乙個 y

yy 滿足 c

y

−1

c_y < c_

cy​−1

​。令 c

xc_x

cx​ 減一，c

yc_y

cy​ 加一，序列 c

cc 仍然滿足原有的性質，但平方和減小。

經過若干次這樣的調整，序列 c

cc 最終會和序列 b

bb 相同，因此序列 b

bb 對應的解一定是最優解，原命題得證。

#include


template


<


class


t>


inline


void


read


(t &res)


template


<


class


t>


inline


void


put(t x)


typedef


long


long ll;


const


int mod =


1e9;


const


int b =(1


<<30)


-1;const


int n =


4e7+5;


int x, y, z, b1, b2, m;


int n, type, l, r, p, t, w;


int que[n]


, pre[n]


;ll sum[n]


;template


<


class


t>


inline


void


ckmax


(t &x, t y)


template


<


class


t>


inline t min


(t x, t y)


struct big


inline


void


change


(ll x)


}inline


void


sqr(


)while


(gl >1&&


!g[gl -1]


)--gl;


}inline


void


operator+=


(const big &a)


inline


void


print()


}a, b;


intmain()


}else


}		t =


1, w =0;


for(


int i =


1; i <= n;


++i)


que[w =1]


= x = n;


while


(x >0)


a.clear()


;	a.gl =1;


for(


int i = w; i >=2;


--i)


a.print()


;return0;


}

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