這兒只是乙個簡單說明/概括/總結。
原理見這：
min_25篩用來求積性函式字首和。範圍一般是\(10^\)。
要求所求積性函式在\(f(i)\)已知時，\(f(p\times i),\ p\in primes,\ i\times p\in[1,n]\)能快速計算。
首先計算
\[g(n,j)=\sum_if(i),\quad i是質數\ 或\ i的最小質因子嚴格大於p_j\\g(n,j)=\beging(n,j-1)&p_j^2\gt n\\ g(n,j-1)-f(p_j)\left[g(\frac,j-1)-\sum_^f(p_i)\right]&p_j^2\le n\end
\]類似埃氏篩法，\(p(n,j)\)就是篩\(j\)次後剩下的數的\(f\)和，再加上所有質數\(p\)的\(f(p)\)之和。
\(p_j^2>n\)時，這一次篩不會篩掉任何數，所以就是\(g(n,j-1)\)。
\(p_j^2\leq n\)時，考慮第\(j\)次篩掉了哪些數，也就是最小質因子是\(p_j\)的那些數。因為是積性函式，所以我們直接提出乙個\(p_j\)（來保證它含\(p_j\)）。
要被篩掉的數在除掉乙個\(p_j\)後的最小質因子一定仍大於等於\(p_j\)（否則在之前就被篩掉了），這符合\(g(\frac,j-1)\)的定義。所以減掉乙個\(f(p_j)g(\frac,j-1)\)。但是\(g(\frac,j-1)\)還包含所有質數的\(f(p)\)之和，所以再加上\(\sum_^f(p_i)\)。
那初值呢？先把所有合數的\(f\)的計算方式看做和質數一樣，以便對所有數的\(f\)值快速求個和，用它作為\(g(n,0)\)（注意這裡不考慮\(1\)）。這樣雖然合數的\(f\)值是假的，但是\(g(n,|p|)\)還是能正確的表示所有質數\(p\)的\(f(p)\)之和。我們用的就是這個\(g(n,|p|)\)（\(n\)以內所有質數\(f(p)\)的和，\(n\)是\(1\sim 給定的n\)內任意數，\(|p|\)是小於等於\(n\)的質數個數）
現在考慮算上合數的\(f\)值求和。令
\[s(n,j)=\sum_if(i),\quad i是質數\ 或\ i的最小質因子大於等於p_j
\]我們把\(s(n,j)\)分兩部分計算，一是所有質數的貢獻，二是所有合數的貢獻。對於\(f(1)\)最後單獨算下。
那麼所有質數的貢獻可以用\(g\)表示，也就是\(g(n,j)-\sum_^f(p_i)\)（因為最小質因子要大於等於\(p_j\)，所以把那些減掉）。
對於合數，列舉這個合數的最小質因子及其次數，用\(f\)是積性函式的性質直接算：
\[s(n,j)=g(n,j)-\sum_^f(p_i)+\sum_^\sum_^\leq n}\left[f(p_k^e)\times s(\frac,k+1)+f(p_k^)\right]
\]\(f(p_k^)\)是\(s\)沒有考慮的那部分（就是\(p_k^\)，質數的若干次冪這樣的合數，而\(s(..,k+1)\)就把這些數忽略掉了）。
答案就是\(s(n,1)+f(1)\)。
流程：把所有合數看做質數，求一遍和，得到初值\(g(n,0)\)。同時預處理乙個\(f(p_i)\)的字首和。
用\[g(n,j)=\beging(n,j-1)&p_j^2\gt n\\ g(n,j-1)-f(p_j)\left[g(\frac,j-1)-\sum_^f(p_i)\right]&p_j^2\le n\end
\]計算\(g(x,|p|)\)（把第二維滾動掉）。
用\[s(n,j)=g(n,j)-\sum_^f(p_i)+\sum_^\sum_^\leq n}\left[f(p_k^e)\times s(\frac,k+1)+f(p_k^)\right]
\]計算\(s(n,1)+f(1)\)。
計算\(s,g\)的複雜度都是\(o(\frac})\)。
對於其它積性函式，同\(g\)一樣計算。
實現上，篩\(sqrt(n)\)內的質數這一步往往可以省略，見這裡。（現在發現博主blog掛了這怎麼辦
上面確實有挺多少見的min25題）
例題：loj6235 區間素數個數
bzoj3944 sum
loj6053 簡單的函式
以後要做的題：
篩學習筆記/
Min 25 篩學習筆記
資料和 出處 資料2資料3 打死我也不承認參考了yyb的 min 25 篩可以幹嘛？下文中未特殊說明 p 均指質數集合,p i 或 p 指某個具體質數。求一類積性函式 f x 的字首和，需要滿足 f p 可以寫成多項式的形式，或者操作一下可以寫成多項式 如例題 且 f p k 能快速求出。講真學這個...
Min 25 篩 學習筆記
埃氏篩法 整除分塊 這裡有提到 1.問題模型 2.min 25 篩 3.模板題以及模板 有乙個積性函式 f 對於所有質數 p f p 是關於 p 的多項式，f p k 非常容易計算 不一定是關於 p 的多項式 求 sum f i n leq 10 1s 設集合 p 表示素數集合。設 g sum f ...
Min 25 篩學習筆記
模板 在本文中用 p 表示質數，p i 表示第 i 個質數。題目要我們求的是乙個積性函式的字首和。我們可以對於 n 內的每乙個質因子進行單獨考慮。但是這樣子的複雜度顯然過大，而這很大一部分原因是因為 n 以內的質數。因此如果我們把所有數分成質數和合數考慮，那麼在合數中的不同最小質因子個數就是 fra...