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求$$\sum_^n\varphi(i)*i$$
把\(f(x)=\sum_^n\varphi(i)*i\)與\(g(x)=x\)做狄利克雷卷積並求字首和，會得到：
\[\sum_^n\sum_f(d)g(\frac id)=\sum_^n\sum_\varphi(d)*d*\frac id=\sum_^ni^2
\]再列舉\(t=\frac id\)：
\[\sum_^n\sum_\varphi(d)*d*\frac id=\sum_^nt\sum_^\varphi(d)*d=\sum_^ni^2
\]比如\(t=\frac id=1\)時，滿足條件的\(d\)有\(n\)個；當\(t=\frac id=2\)時，滿足條件的\(d\)就有\(\lfloor\frac n2\rfloor\)個，且就是\(1\sim\lfloor\frac n2\rfloor\)。
然後移項，左邊留著\(\sum_^n\varphi(i)*i\)：
\[\sum_^n\varphi(i)*i=\sum_^ni^2-\sum_^nt\sum_^\varphi(d)*d\\\rightarrow s(n)=\sum_^ni^2-\sum_^ns(\frac nt)
\]總結：當遇到一些不好求字首和的函式時，一般將其與乙個易於求字首和的函式進行狄利克雷卷積，得到另乙個易於求字首和的函式，然後通過簡單的數學變換，得到可以遞迴的式子。
這道題也是這樣的思路。
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